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title: "波包传播与不确定性互动实验｜Sandbox Physics"
description: "波包现在越窄，以后就散得越开吗？最终会。越窄的波包，动量分布越宽，放开后散得越快。"
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last_modified: "2026-10-27"
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Q002 · 制备、释放、采样

# 波包传播与不确定性

**波包现在越窄，以后就散得越开吗？** 最终会。越窄的波包，动量分布越宽，放开后散得越快。不过宽度和相位是两回事：给它一个会聚的相位，它会先变窄，再散开。

释放一个 Gaussian 波包，给它加上汇聚相位，或者让两个峰相干叠加。同时查看复振幅、位置分布和动量分布，再用独立的位置记录估计波包怎样移动、怎样展宽。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

波包按一维自由 Schrödinger 方程演化，计算用周期 Fourier 网格，所有尺度都无量纲。位置样本和动量样本各自重新制备。动画画的是概率分布，不是一个粒子的轨迹。

分布记录与时间序列

模拟独立制备

## 一次一个事件，累积出分布

蓝色条为记录频率，灰线为单独的模型密度。时间序列蓝点是样本均值及一个标准误，橙点是样本标准差。它们不是置信区间，也不是粒子轨迹。

当前样本均值与离散度

$\text{—}$

当前实测不确定度乘积

$\text{—}$

网格范数与边缘质量

$\text{—}$

位置记录估计的速度

$\text{—}$

Fourier 传播采用长度 256 的周期区间及 2,048 点网格。边缘质量是网格最外侧十分之一区域的概率。环绕属于数值边界效应，不是真实墙面的反射。

模型来源：[MIT 8.04](https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2013/pages/lecture-notes/) · [相关波包](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0502097)

物理教程

## 波包是振幅

**背景** 局域的态里含有一系列动量，每个分量的相位转得快慢不同。

**为什么值得理解** 初态越窄，之后可能散得越快；带弯曲的相位还能让它先收缩。

先抓重点

- **核心问题**: 自由波包可以先变窄吗？
- **一句话直觉**: 宽度、相位曲率和整体运动，是初态里三个相互独立的特征。

### 核心数学模型

#### 无量纲单位

$$
X=x/\ell,\quad P=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)
$$

先选定长度尺度和粒子质量。画面上的数字都用这些无量纲变量；代码里质量和约化 Planck 常数都取单位值。

#### 自由演化

$$
i\partial_\tau\psi=-\tfrac12\partial_X^2\psi,\qquad \widetilde\psi(P,\tau)=e^{-iP^2\tau/2}\widetilde\psi(P,0)
$$

每个 Fourier 分量各自累积相位。传播过程中没有势场，没有探测反作用，也没有真实的反射墙。

#### 一个 Gaussian 峰

$$
g_a(X)=\exp\!\left[-\frac{(1-ic)(X-a)^2}{4\sigma^2}+ip_0X\right]
$$

单峰态是放在中心、归一化的一个峰。双峰态把两个峰放在中心两侧各半个间距处，按所选相对相位相干相加，再归一化。宽度设置指每个初始峰，不是合成分布的宽度。

#### 单峰的精确解

$$
\langle X\rangle=p_0\tau,\qquad (\Delta X)^2=\sigma^2+c\tau+\frac{1+c^2}{4\sigma^2}\tau^2
$$

位置和动量的协方差为负时，波包可以先汇聚。这个公式在无限长直线上成立，只用来独立检验单峰情形；两种制备在模拟里都靠 Fourier 场实际演化。

#### 不确定性与协方差

$$
(\Delta P)^2=\frac{1+c^2}{4\sigma^2},\quad C_{XP}(0)=\frac c2,\quad \Delta X\Delta P\geq\frac12
$$

位置和动量一旦相关，纯 Gaussian 态的乘积也可能超过下界。这里说的是制备出的态有多分散，不是同时精确读出位置和动量。

#### 分别制备

$$
\bar q=\frac{1}{N}\sum_j q_j,\qquad s_q^2=\frac{\sum_j(q_j-\bar q)^2}{N-1}
$$

每个事件都重新制备，位置记录和动量记录来自不同的样本组。标准误估计样本均值有多不准；样本离散度估计制备态本身的不确定性。

### 常见难点

#### 一个粒子，还是一片云？

**容易误解** 移动的密度就是一颗粒子已知的轨道。

**正确理解** 概率云表示制备态的分布。每个记录点都来自一次新的制备，不是一路追踪同一个粒子。

#### 多采样能修好什么

**容易误解** 增加采样就能修复所有误差。

**正确理解** 更多采样能压低统计噪声，却修不好网格间距、周期边界、非理想仪器或错误的物理模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 释放波包

   播放时间并拖动初始宽度。

   **你会看到：** 初态越窄，展宽越快。

2. 02

   #### 汇聚

   选择“先收缩”，采样九个时刻。

   **你会看到：** 实测宽度先减小，再增大。

3. 03

   #### 干涉

   选择双峰，改变相对相位。

   **你会看到：** 位置分布和动量分布里，都带着两峰之间的相干信息。

4. 04

   #### 估计速度和展宽

   在同一指定时刻分别采样位置和动量，再导出。

   **你会看到：** 速度只由记录的位置均值算出；制备不确定度来自不同的样本组。

物理结论

位置和动量要分开制备、分开采样；结果的离散程度和采样误差不是一回事。

## 相关实验与文章

量子物理证据 · 阅读路径

### 定律与量子理论的形成

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **de Broglie：物质的波长，波包的速度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/de-broglie-matter-waves-phase-packets/)
2. [实验 **氢原子轨道与跃迁谱** 对照后来波动力学对氢原子的描述](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hydrogen-orbitals-spectra/)
3. [文章 **矩阵与波：走向同一组预言的两条路**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/matrix-wave-mechanics-observables/)

入门路径 · 第 3 / 6 步

## 从一次测量开始

[下一步 → **量子谐振子态工作台** 从基态出发，再叠加两个能级或让它平移：概率云什么时候会动？采样到的位置说明了什么？ 建模 · 20 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)