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title: "位力定理观测台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "位力定理什么时候才真正成立？得是束缚运动，还得平均足够长时间。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M047 · 能量平均

# 位力定理观测台

**位力定理什么时候才真正成立？** 得是束缚运动，还得平均足够长时间。有限时间内，两倍平均动能和径向力项平均值之间，总差一个边界项：位置与动量乘积的变化，除以经过的时间。这一项是真实物理，不是数值误差。束缚轨道上这个乘积有界，时间越长，差值越接近零；逃逸轨道就不一定了。

跟踪幂律势和对数势中的束缚轨道与逃逸轨道。比较动能和径向力项的累计平均，保留有限时间留下的边界项，再用原始传感器读数重新检验这个关系。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

牛顿径向场是事先给定的。页面会显示数值误差，并说明各项近似在哪里不再适用。

物理教程

## 先看有限时间，再谈位力极限

**背景** 这里的力总是沿着半径方向，它随距离怎样变化，由所选的引力源决定。

**为什么值得理解** 把画面、算出的轨迹和另外采集的传感器读数对应起来看。

先抓重点

- **核心问题**: 位力定理什么时候才真正成立？
- **一句话直觉**: 有限时间里的边界项是真实的物理，不是数值误差。

### 核心数学模型

#### 吸引型径向势

$$
\begin{aligned}U(r)&=\frac A n\left(\frac r{r_0}\right)^n\quad(n\ne0)\\U_{\log}(r)&=A\ln\left(\frac r{r_0}\right)\end{aligned}
$$

对数势是单独的一种选择，幂律势的能量零点不会为了衔接它而平移。测试质量为一千克。

#### 瞬时位力恒等式

$$
\frac{d(\mathbf r\cdot\mathbf p)}{dt}=2K-W,\qquad W=-\mathbf r\cdot\mathbf F
$$

半径向外为正，力指向内，符号由此确定。

#### 有限时间内的平均

$$
2\langle K\rangle_T-\langle W\rangle_T=\frac{(\mathbf r\cdot\mathbf p)(T)-(\mathbf r\cdot\mathbf p)(0)}{T}
$$

时间窗口短时，物理边界项可以很大，恒等式照样精确成立。

#### 幂律势与对数势的位力项

$$
\begin{aligned}W&=nU\quad(n\ne0)\\W_{\log}&=A\end{aligned}
$$

只有边界项趋于零，才能得到熟悉的长时间能量关系。

#### 守恒量

$$
\begin{aligned}E&=\frac12m|\mathbf v|^2+U(r)\\L_y&=m(zv_x-xv_z)\end{aligned}
$$

轨道在水平面内。能量和角动量的误差，与位力残差分开报告。

### 常见难点

#### 模型的前提

**容易误解** 理想模型自然就能描述真实行星或已经松弛的星团。

**正确理解** 引力源是给定的，质点不会反过来影响它，省略了哪些效应也都写明了。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较势场

   依次试“Kepler 椭圆”“谐振势阱”“四次势约束”“对数势”。

   **你会看到：** 力的规律一变，累计平均也跟着变。

2. 02

   #### 保留边界项

   比较“短时观测”和更长的观测时间，并拖动选中时间。

   **你会看到：** 两个平均之差跟着物理边界项走；扣掉边界项后剩下的残差，才反映数值误差。

3. 03

   #### 检验前提

   把 Kepler 发射速度调到逃逸速度以上，观察边界项。

   **你会看到：** 逃逸的质点不满足有界运动这个前提，观测再久，关系也不一定能恢复。

4. 04

   #### 先采集，再加密步长

   采集算出的轨迹，看看原始估计值，再把积分步长减半。

   **你会看到：** 重采样和传感器噪声只影响原始估计，与每一步都算的数值平均无关。

物理结论

数值对得上还不够，还要检查前提是否成立。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)