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title: "Umbrella 采样与 MBAR互动实验｜Sandbox Physics"
description: "怎样把带偏置的轨迹拼成平衡自由能？先让每个窗口采到自身的平衡分布，再靠共同访问的构型把窗口接起来。"
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FR15-B · 用相互重叠的窗口走过势垒

# Umbrella 采样与 MBAR

**怎样把带偏置的轨迹拼成平衡自由能？** 先让每个窗口采到自身的平衡分布，再靠共同访问的构型把窗口接起来。MBAR 扣除已知偏置，估计平衡占据；若隐藏方向一直困在同一个阱里，横向窗口重叠也会给出错的自由能。

沿二维地形移动采样窗口，把有种子的轨迹合在一起，与数值积分得到的自由能比较。再故意留出空隙，或让隐藏坐标困在一个阱里。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

数据来自二维无量纲势上的过阻尼 Langevin 模拟，边界反射，谐和偏置只作用于横坐标。MBAR 要求每个窗口都达到自身的平衡分布；横向重叠无法证明隐藏方向已经采全。分块 bootstrap 的小误差也可能漏掉未访问的状态。带偏置轨迹的时间不能直接当作反应时间。

有种子的模拟 · 独立积分参考

## 去掉偏置以后，还剩下什么？

相连的窗口把重建曲线与独立参考放在一起比较。

相关性、留出区域与拟合诊断

$N=7000,\quad p_{\rm R}^{\rm ref}=0.500$

中央八格是预先规定的验证区域。独立积分参考不参与拟合，全部采样仍进入 MBAR。记录保存该区域的重建概率和绝对误差。样本数估计先计算 Kish 权重有效样本数，再除以各条轨迹两个坐标中最大的统计低效因子；这是基于坐标相关性的启发式诊断，不能保证每个可观测量的方差估计都偏保守。

导出文件含全部坐标、采集时刻、偏置能、种子、预热步数、保存间隔、归一化目标权重、重叠矩阵和 bootstrap 结果。这里所有记录都来自模拟。

[继续学习自由能与稀有事件课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/)

物理教程

## Umbrella 采样与 MBAR

**背景** 温度不高时，轨迹常常在一边的谷里徘徊。给横坐标加一个谐和约束，可以把它留在指定位置附近；排开多个窗口，就能访问原本难到达的势垒。

**为什么值得理解** 偏置改变了各处被访问的次数。想找回原来的平衡占据，既要知道偏置有多大，也要知道不同窗口怎样接上。

先抓重点

- **核心问题**: 怎样把带偏置的轨迹拼成平衡自由能？
- **一句话直觉**: 窗口先各自采到平衡，再靠重叠区域比较彼此的统计权重。

### 核心数学模型

#### 已知的谐和偏置

$$
B_i(x)=\frac{\kappa}{2}(x-c_i)^2,\qquad u_i=\frac{U+B_i}{k_{\rm B}T}
$$

窗口中心和刚度决定偏置能。把总能量除以热能，得到无量纲的约化势。

#### MBAR 合并保存的构型

$$
\widehat f_i=-\ln\sum_n\frac{e^{-u_i(z_n)}}{\sum_jN_j e^{\widehat f_j-u_j(z_n)}}
$$

求和遍历所有已保存构型。每个状态都有样本数和待求的归一化常数。把第一个约化自由能设为零，只是固定共同的任意常数。

#### 回到无偏分布

$$
w_n\propto\frac{e^{-U(z_n)/(k_{\rm B}T)}}{\sum_jN_j e^{\widehat f_j-u_j(z_n)}},\qquad F(x)=-k_{\rm B}T\ln p(x)+C
$$

用这些权重统计横坐标，再取负对数，得到自由能。浅色参考来自独立二维积分，不参与 MBAR 拟合。

### 常见难点

#### 帧数多，独立信息未必多

**容易误解** 保存一帧，就多一次独立观察。

**正确理解** 相邻帧共享一段运动历史。诊断同时估计两个坐标的自相关；bootstrap 在每条独立轨迹内部抽取连续数据块。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看窗口怎样交接

   先看“相连的窗口”。选一个窗口或拖动菱形中心，再比较青色重建曲线和浅色积分参考。

   **你会看到：** 相邻颜色的轨迹会访问一部分相同区域。橙色合并直方图还带着偏置；MBAR 重新分配了各点权重。

2. 02

   #### 去掉中间的桥

   选“中间缺了一段”，看重叠矩阵和两团分离的轨迹。

   **你会看到：** 经验重叠图断开了。两组样本无法可靠确定相对归一化，页面停止显示一条全局重建曲线。

3. 03

   #### 再检查隐藏方向

   选“隐藏方向被困住”。比较纵向覆盖范围、重建占据和误差条。

   **你会看到：** 横向窗口仍然重叠，轨迹却都留在上方隐阱。反复重采这些数据块，仍可能围着错误答案给出很小的误差条。

物理结论

相信自由能曲线以前，先检查窗口重叠、隐藏方向的混合和样本相关。

## 相关实验与文章

自由能与稀有事件 · 阅读路径

### 从 Boltzmann 概率走到反应路径

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **怎样用一串重叠窗口走过势垒**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/umbrella-windows/)
2. [文章 **MBAR 怎样把不同窗口接成同一份分布**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/multistate-reweighting/)
3. [文章 **误差条为什么会漏掉最严重的错误**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/uncertainty-and-validation/)
4. [文章 **沿着一篇 MBAR 论文检查自己的计算**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/reading-the-mbar-paper/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)