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title: "图灵斑图互动实验｜Sandbox Physics"
description: "扩散为什么能帮均匀混合物长出图案？两种物质一边反应、一边以不同速度扩散，微小浓度差就可能越长越大。"
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last_modified: "2026-10-28"
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FR21 · 反应与扩散

# 图灵斑图

**扩散为什么能帮均匀混合物长出图案？** 两种物质一边反应、一边以不同速度扩散，微小浓度差就可能越长越大。哪些波长能长起来，要由反应速度、扩散速度和区域大小一起决定。

微小浓度差会逐渐长成斑点。改变扩散快慢、拖动鼠标添加局部扰动，再比较模拟测出的早期增长率与理论预测。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

两种无量纲 Schnakenberg 组分在周期方域中反应。颜色按固定尺度表示激活组分浓度。增长谱来自另行保存的小扰动模拟，没有拟合生物参数。

演化时刻 $30$

平均浓度 $1$

空间起伏 $0.1$

峰值浓度 $2$

模拟记录与解析参考

## 哪些空间尺度会增长？

青线是连续模型预测，金色虚线是每边 32 格的差分预测。白点来自另行模拟：对九个已保存的傅里叶振幅样本取对数并拟合斜率。小扰动模拟与主图使用相同的当前反应参数。

主图采用固定色标：零为深蓝，一附近为青色，2.5 及以上为金色。相对两边彼此相接。

[阅读推导与完整例题](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/)

物理教程

## 扩散怎样选出斑点间距

**背景** 给整锅混合物加一点相同的扰动，它可能自己回到稳态。若把扰动换成一明一暗的条纹，同一锅混合物却可能把条纹越放越大。两种组分扩散快慢不同，每种尺度受到的影响也不同。

**为什么值得理解** 图案刚开始形成时，还不必追踪每个斑点。先问多宽的起伏会增长，再从模拟中测出增长率，就能把“看起来像”变成一个可检验的预测。

先抓重点

- **核心问题**: 这锅混合物会放大多大尺度的扰动？
- **一句话直觉**: 两种组分受到的扩散阻尼不同，局部反应可能因此放大一段特定尺度的起伏。

### 核心数学模型

#### 局部反应与扩散

$$
\partial_t u=a-u+u^2v+D_u\nabla^2u,\qquad \partial_t v=b-u^2v+D_v\nabla^2v
$$

激活组分消耗底物，生成更多激活组分；两者都向周围扩散，外部储库持续补给。这里的浓度、长度和时间均已无量纲化。

#### 把微小起伏拆成不同波长

$$
\partial_t\begin{pmatrix}\delta u_k\\\delta v_k\end{pmatrix}=\left[J-k^2\begin{pmatrix}D_u&0\\0&D_v\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}\delta u_k\\\delta v_k\end{pmatrix}
$$

矩阵描述一个正弦起伏怎样变化。其本征值实部中最大的那个，就是早期指数增长率；正值表示这种起伏会长大。

### 常见难点

#### 每种物质都抹平，整体却能失稳

**容易误解** 扩散只会抹平浓度，怎么会画出斑点？

**正确理解** 每种物质确实都在抹平自身浓度。底物移动得快时，重新分配会改变局部反应的反馈，耦合后的系统便可能放大某些起伏。

#### 小扰动预测有适用阶段

**容易误解** 增长谱应该解释每一帧斑点变大的速度。

**正确理解** 增长谱从均匀稳态附近展开。斑点大到明显消耗周围底物时，小扰动近似结束，后面的竞争和饱和由完整反应方程决定。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到会长大的尺度

   选择“斑点长出”，在增长谱中找到零线以上的白点。

   **你会看到：** 这些模式从微小扰动开始增长。有限网格的参考与连续预测略有不同，差别来自空间离散。

2. 02

   #### 让两种物质扩散得一样快

   选择“扩散抹平”，再在主图拖出一道痕迹。

   **你会看到：** 痕迹扩散后逐渐消退。相同扩散率给两个耦合模式减去同样的阻尼。

3. 03

   #### 区分整锅振荡和空间图案

   选择“混合物振荡”，观察整幅场随时间变色。

   **你会看到：** 此时均匀模式也会失稳。整锅一起变色属于时间振荡，静态空间图案则从非零波数的起伏开始。

物理结论

图案刚开始形成时，先增长的是某个空间模式，而不是每个位置各自随机变亮。

## 相关实验与文章

形态发生与反应扩散 · 阅读路径

### 反应、扩散、生长与主动应力

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **扩散为什么有时会帮忙长出花纹**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/reaction-and-diffusion/)
2. [文章 **算出哪些波纹会长大**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/turing-instability/)
3. [文章 **从模拟记录量出增长率**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/measuring-growth/)
4. [文章 **重算图灵论文里的两细胞例子**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/morphogenesis/turing-paper-guide/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)