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title: "桁架桥受力探索器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "桁架桥最少用多少材料，才能让载荷放在桥面任何位置都不坏？刚好够每根杆件在各自最不利的载荷位置下既不拉断，也不压屈。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M023 · 结构力学

# 桁架桥受力探索器

**桁架桥最少用多少材料，才能让载荷放在桥面任何位置都不坏？** 刚好够每根杆件在各自最不利的载荷位置下既不拉断，也不压屈。不同杆件的最不利位置不同，所以要把载荷沿整个桥面走一遍，只查中点不够。

搭一座 Warren 桁架或加强型平面桁架，移动载荷，测量位移。让载荷走遍整个桥面，比较各杆的拉伸、压缩、理想屈服和铰接杆屈曲。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是线弹性、准静态的。位移放大显示，读数仍是真实的物理值。模拟传感器的读数和模型参考值分开列出。强度限值只是理想化的初步筛查，不是设计认证。

物理教程

## 沿传力路径核对柔度

**背景** 载荷加得很慢，桁架始终处于平衡，可以不考虑惯性。

**为什么值得理解** MIT 材料力学讲义从同一套力平衡和能量关系出发，推导节点平衡、杆件轴向弹性和 Euler–Bernoulli 弯曲。

先抓重点

- **核心问题**: 最少用多少材料，才能让载荷走到任何位置都扛得住？
- **一句话直觉**: 几何决定力沿哪些杆件传递，截面和模量决定结构受载后变形多少。

### 核心数学模型

#### 节点平衡

$$
\mathbf K_{ff}\mathbf u_f=\mathbf f_f
$$

只求解没有被约束的节点位移。左边的铰支座挡住两个方向的平移，右边的滚动支座只挡住竖直平移。

#### 杆件轴向本构

$$
N_e=\frac{EA}{\ell_e}\Delta\ell_e,\qquad\sigma_e=\frac{N_e}{A}
$$

杆的伸长量，是两端节点位移之差在杆原方向上的投影。轴力为正表示受拉。

#### 两种独立限值：屈服与屈曲

$$
|N_e|\leq\frac{A\sigma_y}{s},\qquad -N_e\leq\frac{\pi^2EI}{s\ell_e^2}
$$

第二个条件只用于受压杆，按两端铰接的理想直杆计算。设计安全系数为一点五。

#### 实心圆杆的材料用量

$$
I=\frac{A^2}{4\pi},\qquad\mathcal V=A\sum_e\ell_e
$$

所有杆件共用的最小截面积，必须在载荷位于每个桥面节点时都满足强度和位移限值。载荷落在两个节点之间时，响应是这两种节点工况的凸组合，节点工况已经把它覆盖了。

#### 独立的能量检验

$$
U=\sum_e\frac{N_e^2\ell_e}{2EA}=\frac12\mathbf f^{\mathsf T}\mathbf u
$$

线性弹性桁架逐渐加载时，杆件储存的轴向应变能必须等于外力在对应位移上所做功的一半。

### 常见难点

#### 画面上的变形是放大过的

**容易误解** 画面上桥弯了多少，实际就移动了多少。

**正确理解** 位移要看读数或定量曲线。三维显示的放大倍数只改变画法。

#### 超限以后，模型不演示坍塌

**容易误解** 杆或梁超过理想限值后，仍然按这个线性模型变形。

**正确理解** 红色的解只是外推。模型不包括塑性流动，也不包括屈曲之后的行为。

#### 模量是从数据里估出来的

**容易误解** 拟合出的模量只是照抄参考滑块的值。

**正确理解** 清空观测数据，估计值就消失了。多采几个载荷，再改变噪声，看模量能估得多准。

### 动手实验

1. 01

   #### 改变传力路径

   比较“Warren 桁架”和“加强腹杆”两个预设。

   **你会看到：** 支座反力和杆件内力一起变化。

2. 02

   #### 移动载荷与测点

   拖动装置下方的两个彩色手柄。

   **你会看到：** 测点读的是真实挠度。移动测点后，之前的观测和新位置对不上，会被清空。

3. 03

   #### 测量材料

   点“采集九级载荷”，加入有界的传感器噪声，再点“导出原始观测”。

   **你会看到：** 拟合斜率给出模量估计，残差反映传感器读数的散布。

4. 04

   #### 找出最小截面积

   点“核对所有桥面载荷点”，再点“使用最小统一杆截面”。

   **你会看到：** 求最小截面积时，强度和使用状态下的挠度都要满足。

物理结论

屏幕上的线性解，只有在模型声明成立的范围内才可信。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)