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title: "离子运动边带谱互动实验｜Sandbox Physics"
description: "离子的运动冷到基态后，红边带为什么会消失？红边带跃迁要从离子的运动里拿走一个量子。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/trapped-ion-sideband-spectroscopy/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q030 · 用边带读出离子运动

# 离子运动边带谱

**离子的运动冷到基态后，红边带为什么会消失？** 红边带跃迁要从离子的运动里拿走一个量子。离子已在运动基态，没有量子可拿，红边带就消失了；蓝边带是添一个量子，照样存在。反复测量、比较两个边带的强弱，就知道运动冷到了什么程度。

在受困离子的共振频率两侧驱动它，比较多次重复的状态读数；再用冷却脉冲，把运动能量一个量子一个量子地移走。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型只有一个有效的谐振运动模式，和一个被驱动的内部跃迁。载波和一阶边带彼此分辨，采用精确的位移矩阵元。每次冷却后，离子理想复位，没有反冲。另有一个独立的经典射频 / 直流模式，积分离子的微运动和穿出孔径的损失，但不会重新标定谐振光谱。不考虑环境加热和荧光的光子统计。所有记录都是模拟的。

02 / 观察交换过程

## 红、蓝边带的响应不一样。

离子激发 0%

探测前运动基态 0%

红线：红边带；蓝线：蓝边带；灰线：选中跃迁。点与 95% Wilson 误差棒来自记录。

拖动可检查任意探测时长。自动播放反复展示早期模型响应，不产生新测量。

数值读出与计数推断

制备后平均运动占据 · 模型

$\text{—}$

热态估计 · 来自配对计数

$\text{—}$

制备后的振子分布

03 / 看振子的占据

## 还剩哪些运动能级？

$\epsilon_{\rm tail}=0$

已保存的计数与采集设置

04 / 保留证据

## 同条件红蓝对照

采集一组对照后，下表才会填上。之后再改控件，表中仍保留采集时的设置。

| 探测 | 读出 / 总数 | 激发次数 |
| --- | --- | --- |

模型与测量边界

读出成功时，能理想地分辨两个内部态；没读出的试次也保留在记录里。不模拟荧光光子一个个到达的过程。每次试验都独立制备。模型给出的数分布不是从这些二值计数重建的。

运动初态是一个有效谐振模式的热态。载波与一阶边带都按可分辨跃迁处理；阱角频率固定为参考时间倒数的二十倍。冷却用共振红边带脉冲加上无反冲的完美复位，所以冷却后的分布一般不再是热分布。

边带与腔协议采用任意参考时间单位；下方独立射频协议采用物理 SI 单位。几何为示意，原子与模式范围经过放大。

装置上的旋钮与滑块调节同一个模型载波驱动，脉冲面积还取决于探测时长。旋钮角度是操作界面，没有厂家的功率标定；改变视角不会改变阱或光谱标定。

主要来源：[Leibfried et al. · 2003](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.75.281) · [Vybornyi et al. · 2023](https://arxiv.org/abs/2306.07880)

Paul 阱的运动与稳定区

05 / 建立离子阱

## 运动有界，仍可能撞上孔径。

在给定的线性四极场里，对一颗经典测试离子做数值积分。稳定图检验的是理想方程；轨迹只说明这一组初始条件在这段观测时间里的表现。两者都不能证明离子被捕获。

电压、发射与观测窗口

射频幅值 / V $20$ 端帽直流 / V $5$ 射频频率 / MHz $5$ 发射射频相位 / 度 $0$ 初始径向位置 / µm $15$ 另一径向位置 / µm $5$ 初始轴向位置 / µm $20$ 初始径向速度 / m/s $0$ 吸收半径 / µm $50$ 观测 / 射频周期 $80$

已记录时间游标

记录的 Mathieu 参数

$a_r=0,\quad q_r=0$

位置 · 模拟坐标

$r=0\,\mu\mathrm m$

径向单周期矩阵迹

$\operatorname{tr}M=2$

周期内径向残差均方根

$\text{—}$

### 径向运动与周期均值

> 已记录轨迹图；可导出数值 CSV。

蓝色：积分得到的径向坐标；橙色：完整周期均值。残差里还含有周期内慢运动的变化，所以不能据此唯一地分出本征微运动和额外微运动。

### 理想 Mathieu 稳定截面

> 理想稳定性的数值截面，边界见周围正文。

蓝色：两个径向和轴向运动都有界；红色：不稳定；灰色：处在边界或退化。标记点用的是记录时的电压。网格是数值截面，不是电极的接受度图。

恢复进度

场、几何，以及结果能说明什么

$$
\Phi=\Phi_{\rm rf}+\Phi_{\rm dc}
$$

$$
\begin{gathered}\Phi_{\rm rf}=\frac{V_{\rm rf}(x^2-y^2)}{2r_0^2}\\{}\cdot\cos(\Omega t+\phi)\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}\Phi_{\rm dc}=\frac{\kappa U_{\rm dc}}{z_0^2}D\\D=z^2-\frac{x^2+y^2}{2}\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}a_x=a_y=-\frac{4e\kappa U_{\rm dc}}{m z_0^2\Omega^2}\\a_z=-2a_x\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}q_x=-q_y=\frac{2eV_{\rm rf}}{m r_0^2\Omega^2}\\q_z=0\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}\ddot u_i=-\frac{\Omega^2}{4}A_i(t)u_i\\A_i(t)=a_i+2q_i\cos(\Omega t+\phi)\end{gathered}
$$

离子带正电，质量取 40 原子质量单位。径向尺度 0.5 mm，轴向尺度 1 mm，端帽几何系数 0.2。坐标为右手系：轴向沿电极杆，两个径向一个朝上，一个横穿台面。几何是示意图，离子位移相对电极示意放大了十倍。轴向 200 µm 的限制和可调的径向圆柱，是近轴场内用来判定逃逸的吸收边界，不是电极表面。

速度 Verlet 算法每个射频周期走 192 步；Floquet 矩阵另用 RK4 独立积分。迹落在任一边界的数值容差内时，判为临界，不给结论；无场漂移也属于这种情况。逃逸时间夹在相邻两个积分步之间。在有限观测时间内能否存活，取决于初始能量、相位和孔径。不模拟冷却、气体碰撞、空间电荷、电极非谐性、杂散场和耗散装载。

这里的经典射频实验和谐振子量子边带实验是两个独立的实验。改变射频场不会重新标定边带频率，也不会产生光谱计数。这里的坐标都是模拟值，不是探测到的离子位置。

[Berkeland 等 · 1998 · 式 1–6（NIST 汇编）](https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/TN/nbstechnicalnote1523.pdf) · [Wineland 等 · 线性阱与边带操控](https://tf.nist.gov/general/pdf/1228.pdf)

物理教程

## 通过离子读出运动

**背景** 二能级系统可以和量子化的振子交换能量。

**为什么值得理解** 改变制备方式，再用多次独立的态读数检验模型。

先抓重点

- **核心问题**: 振子里一个量子都没有时，会有什么不同？
- **一句话直觉**: 模型曲线和有限次测量，是两种不同的证据。

### 核心数学模型

#### 分辨边带

$$
\omega_L=\omega_0+s\nu+\Delta,\quad s\in\{-1,0,1\},\quad\nu t_*=20
$$

红边带移走一个声子，蓝边带加上一个。失谐从所选跃迁算起。载波只改变内部态。

#### 热态制备

$$
p_n=\frac{\bar n_0^n}{(1+\bar n_0)^{n+1}}
$$

运动的初始分布是热分布。冷却逐个更新每个声子数的概率，不会把结果改拟合成热态。

#### 边带耦合

$$
\Omega_{n,n+1}=\Omega_0e^{-\eta^2/2}\frac{\eta}{\sqrt{n+1}}L_n^1(\eta^2)
$$

模型保留孤立一阶边带的完整位移矩阵元。位移小时，它趋于随声子数平方根变化的规律。

#### 态读出

$$
P_e(t)=\sum_n p_n\frac{\Omega_{n,n+s}^2}{\Omega_{n,n+s}^2+\Delta^2}\sin^2\!\left(\frac t2\sqrt{\Omega_{n,n+s}^2+\Delta^2}\right)
$$

每次态读数都是一次新的 Bernoulli 试验。处在运动基态的离子，红边带激发不了。

#### 热态的红蓝边带比

$$
\frac{P_{\rm red}}{P_{\rm blue}}=\frac{\bar n}{1+\bar n},\quad\widehat{\bar n}=\frac{\hat P_{\rm red}}{\hat P_{\rm blue}-\hat P_{\rm red}}
$$

只适用于单模热态，并且红蓝脉冲必须匹配。冷却之后，或两组逐点 Wilson 区间重叠时，页面不显示点估计。这条规则并不是占据数的置信区间。

### 常见难点

#### 亮光不是轨迹

**容易误解** 发光的物体画出了单个粒子的轨迹。

**正确理解** 固定标记只表示粒子所在的位置，亮度表示概率或平均占据。只有记录下来的结果小格，才是真正的采样。

#### 模型的近似

**容易误解** 这是一台标定过的真实仪器。

**正确理解** 边带实验采用谐振有效势、分辨跃迁，以及无反冲的理想冷却复位。另一个独立的经典射频实验求解受驱运动和有限孔径造成的损失，但它的场参数不会重新标定边带模型。两种模式都不模拟光子一个个到达的过程，也不模拟真实的装载捕获。

### 动手实验

1. 01

   #### 制备

   先试运动基态，再试热运动。

   **你会看到：** 两种情况下，整条响应曲线都不一样。

2. 02

   #### 探测

   拖动时间游标，读出 200 次重新制备的结果。

   **你会看到：** 预览播放本身不会产生数据。

3. 03

   #### 对照

   采集一组匹配的红、蓝边带读数。

   **你会看到：** 导出原始 CSV，就能自己重算各态的频率。保存的对照会保留采集时的设置。

物理结论

解读计数比之前，先弄清制备和测量各自做了什么假设。

## 相关实验与文章

量子物理证据 · 阅读路径

### 时钟、囚禁与单量子操控

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Ramsey 和离子阱怎样为测量争取时间**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/ramsey-ion-traps-measurement/)
2. [实验 **Ramsey 测频与原子钟** 扫描频率，读出 Ramsey 条纹](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ramsey-frequency/)
3. [文章 **不断改变方向的电场怎样困住离子**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/paul-trap-dynamic-stability-micromotion/)
4. [文章 **怎样读懂首次离子基态冷却实验的边带谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/sideband-asymmetry-ground-state-cooling/)
5. [实验 **荧光与量子跳跃** 用荧光读出内部态](https://sandboxphysics.com/zh/labs/fluorescence-quantum-jumps/)
6. [文章 **借另一个离子，读出一条难测的跃迁**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/quantum-logic-spectroscopy-shared-motion/)
7. [实验 **双离子量子逻辑光谱** 借搭档离子的模拟荧光读出另一颗离子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/two-ion-quantum-logic-spectroscopy/)
8. [实验 **量子态与过程层析** 看哪些测量能检验相干性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-state-process-tomography/)
9. [文章 **怎样测量一个量子系统，还能接着研究它**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/single-quantum-measurement-backaction/)
10. [实验 **腔内量子激发交换** 看原子和腔来回交换一份激发](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cavity-quantum-exchange/)
11. [实验 **退相干通道与信息丢失** 比较量子态失去相干的几种方式](https://sandboxphysics.com/zh/labs/decoherence-channels/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)