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title: "凌星计时变化与行星质量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "什么让行星晚一点遮住恒星？邻近行星的引力会让遮星时刻偏离匀速钟表。"
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last_modified: "2026-10-28"
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AC19 · 行星错过了约定时刻

# 凌星计时变化与行星质量

**什么让行星晚一点遮住恒星？** 邻近行星的引力会让遮星时刻偏离匀速钟表。重复会合能积累出缓慢的早晚变化，较短的踢动还携带质量信息。偏心轨道也会改变测时图案，因此要结合多次凌星和测量误差判断质量能确定到什么程度。

伴星的引力会改变凌星时刻。拖动它的轨道，把实际遮星与拟合出的钟表比较。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这是共面、侧向观测的恒星与两行星合成牛顿积分，三者质量有限，相互引力不软化。数值单位取恒星质量、初始内行星半长轴及引力常数均为一；物理标尺采用一太阳质量恒星和十二天初始内周期，内行星质量约十个地球。伴星质量非零时，两颗遮星圆盘半径均为恒星的百分之九；轨道总览中的天体大小另有放大。伴星质量为零时，数值参考粒子不进入显示流量、场景或计时图。恒星半径取初始内行星半长轴的零点零四五倍。几何中心时刻取前景天体的投影距离最小值；同一轨道计算临边昏暗流量，也处理圆盘重叠。忽略光传播时间、恒星活动、潮汐与相对论。每条积分持续初始内行星二百圈；场景循环回放其中注明的一次遮星。固定预设和自定义计算共用 RK4 核，每个初始周期至少九百六十步，并按近心点尺度细化；若下一步的行星间距小于初始内半长轴的百分之十二，或星心距小于百分之十五，则拒绝该步并保留上一有效记录。真实 Kepler-289 二十五次测时教程另用近似反演，采用测量误差、联合变化的历表和明确先验；所得后验条件于这套简化模型，原论文则分析完整三行星系统。

## 每个点都来自一次遮星

合成牛顿记录 · 初始内行星二百圈。

完整记录中的提前与推迟

$O-C\;[\mathrm{min}]$

$t/P_{1,0}$

选中的一次遮星

$F/F_\star$

$t-T_{\rm calc}\;[\mathrm{h}]$

每颗行星的遮星分别拟合自己的线性钟表；金色竖线标记回放事件。流量使用相同的前景位置，也计入圆盘重叠；完整轨道基线与放大的遮星窗口时长不同。

物理教程

## 读懂行星变化的约定时刻

**背景** 伴星与行星交换轨道能量和角动量。把多次遮星拟合成一只钟之后，下一次可能提前，也可能推迟。

**为什么值得理解** 遮星深度给出大小比例，引力造成的测时变化则增加质量信息。

先抓重点

- **核心问题**: 哪些测时图案来自伴星，偏心率又能模仿其中多少？
- **一句话直觉**: 先从轨道算出每次遮星，再扣去拟合历表。缓慢变化的振幅混合了质量与自由偏心率；能分辨的会合分量有助于把它们拆开。

### 核心数学模型

#### 扣去一只钟

$$
(O-C)_n=t_n-(T_0+nP)
$$

时刻和周期都以天为单位；真实观测序列中的缺失圈数必须保留。

#### 两种不同节拍

$$
P_{\rm syn}=\frac1{|P_1^{-1}-P_2^{-1}|},\qquad P_{\rm sup}=\frac1{|2/P_2-1/P_1|}
$$

前者是会合间隔，后者是接近二比一时的测时长节拍，可能超过观测时长。

#### 定位遮星

$$
\boldsymbol r_\perp\cdot\boldsymbol v_\perp=0,\quad r_x>0
$$

相对位置取行星减恒星，观测者沿正向横轴；还须选择极小值并检查有限恒星圆盘。

### 常见难点

#### 深度不是质量

**容易误解** 遮得更深就直接称出了行星。

**正确理解** 深度主要反映投影面积比；动力学质量信息来自引力造成的测时图案。

#### 大幅慢波仍可能多解

**容易误解** 测准振幅就唯一确定质量。

**正确理解** 慢项还依赖自由偏心率向量；需要分辨另一分量，或保留较宽的质量区间。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较两只钟

   先看接近二比一，再打开独立的钟。

   **你会看到：** 伴星让早晚变化；孤立情形只剩数值误差。

2. 02

   #### 移动伴星

   沿径向拖青色轨道手柄，再改变伴星质量。

   **你会看到：** 间距改变节拍，质量改变引力响应，两者都会影响有限时窗的图案。

3. 03

   #### 等长节拍

   把更长的节拍与默认比较，查看完整二百圈测时。

   **你会看到：** 短弧可能很像周期漂移；拟合钟扣去了偏移与斜率，物理上的歧义仍需分析。

物理结论

测时残差是相对于采用的钟表之差，误差和采样都属于质量反演的一部分。

## 相关实验与文章

行星为什么晚到了 · 阅读路径

### 行星为什么晚到了

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **行星为什么会晚一点遮住恒星**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/late-planet/)
2. [文章 **先把轨道算对，再造一只钟**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/orbits-before-clocks/)
3. [文章 **从一次次遮星得到测时残差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/crossings-and-residuals/)
4. [文章 **为什么测时波很清楚，质量仍不确定**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/mass-and-eccentricity/)
5. [文章 **重算 Kepler-289 的二十五次真实凌星时刻**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/kepler289-timing-tutorial/)
6. [文章 **从光度图读懂 Kepler-289 的质量测量**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/reading-kepler289/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)