---
title: "三球泳者：原路往返为什么游不动互动实验｜Sandbox Physics"
description: "微小泳者把同一个动作来回重复，为什么到不了任何地方？在这么小的尺度上，水几乎瞬间就能让身体停下，臂长一确定，位移就确定了。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-sphere-swimmer/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/three-sphere-swimmer/"
last_modified: "2026-10-29"
---

低雷诺数 · 把划水画成闭合路径

# 三球泳者：原路往返为什么游不动

**微小泳者把同一个动作来回重复，为什么到不了任何地方？** 在这么小的尺度上，水几乎瞬间就能让身体停下，臂长一确定，位移就确定了。把动作倒着做一遍，每一步都会被抵消，做得多快都一样。两条臂错开节奏、走出一个闭合圈，泳者才会前进；小圈前进的距离与圈住的面积成正比。

在水里驱动三球泳者的两条臂。比较原路往返和大小、方向不同的闭合划法，测出每个周期身体前进多远。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

三个等大小球排成一条直线，处在无边界的水中，用点力（Oseen）近似计算它们之间的流体耦合；泳者不受净外力。模型要求球半径远小于臂长，所以臂长不短于三个半径。这里没有布朗运动：一个周期内，1 µm 小球的热扩散比它游过的距离还远，真实的这么小的泳者要积累很多周期才看得出漂移。示踪粒子用同一个点力流场，离球面一个半径以内只作定性参考。

每周期前进距离

$0.172\,\mu\mathrm{m}$

圈住的面积（带方向）

$16\,\mu\mathrm{m}^2$

小圈面积律估计

$0.146\,\mu\mathrm{m}$

每周期耗散能量

$6.93\,\mathrm{aJ}$

粉色代表身体：圈上的当前形状，和随时间变化的位置。背景越亮，每单位圈住面积换来的距离越多；虚线是整周期平均漂移。

更多数值与原始记录

周期 $0.533\,\mathrm{s}$

平均游速 $0.323\,\mu\mathrm{m/s}$

雷诺数 $3\times10^{-4}$

有限尺寸修正（Rotne–Prager 减点力） $-0.00707\,\mu\mathrm{m}$

JSON 记录包含模型版本、单位、闭合圈顶点、示踪点随机种子、每次参数改动和采样的质心位置。

泳者与四步划法取自 Najafi 与 Golestanian（2004）；面积律是 Golestanian 与 Ajdari（2008）的式 13。 [阅读 2004 年论文](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0402070) · [阅读 2008 年论文](https://arxiv.org/abs/0711.3700)

物理教程

## 前进靠闭合路径，不靠快

**背景** 细菌停止推进后，只能再滑行约十分之一纳米。每一刻，水的阻力都和泳者自身施加的力平衡，所以身体的速度只取决于此刻形状怎样变化。

**为什么值得理解** Najafi 与 Golestanian 设计了还能游的最简单身体：两条长度可变的臂。把两臂长度画成平面上的一个点，每种划法就成了一条路径，能不能游就变成这条路径长什么样。

先抓重点

- **核心问题**: 微小泳者把同一个动作来回重复，为什么到不了任何地方？
- **一句话直觉**: 原路返回的路径，会把身体带回起点。闭合圈会留下净位移，大小由圈住的区域决定；小圈的净位移等于面积乘一个由球半径和臂长决定的系数。

### 核心数学模型

#### 没有惯性时的力平衡

$$
v_i=\sum_j M_{ij}f_j,\qquad M_{ii}=\frac{1}{6\pi\eta a},\quad M_{ij}=\frac{1}{4\pi\eta\,|x_i-x_j|},\qquad \sum_i f_i=0
$$

每个球的速度来自自身受力的斯托克斯阻力，加上另外两个球推动的流动。泳者对水的总推力为零。给定两臂伸缩速度，这三个方程就定下了三个球的速度。

#### 位移是形状空间里的线积分

$$
\Delta X=\oint\left(A_1\,dL_1+A_2\,dL_2\right)=\iint\left(\frac{\partial A_2}{\partial L_1}-\frac{\partial A_1}{\partial L_2}\right)dL_1\,dL_2
$$

式中已经没有时间：只有路径要紧，所以改变伸缩速度只改变周期，不改变每周期的距离。不圈住面积的路径给出零。形状面板的背景颜色画的就是被积函数。

#### 小圈的面积律

$$
\Delta X\approx K\,\mathcal{A},\qquad K=\frac{a}{3}\left[\frac{1}{\ell_1^{2}}+\frac{1}{\ell_2^{2}}-\frac{1}{(\ell_1+\ell_2)^{2}}\right]
$$

Golestanian 与 Ajdari 对等大小球、远小于臂长的小圈给出了这个系数，只保留到半径与臂长之比的最低阶。读数把它和完整模型并排比较；圈越大、球越大，差距越明显。

### 常见难点

#### 快不等于远

**容易误解** 去程用力大、回程用力小，泳者总该往前漂一点。

**正确理解** 没有惯性时，每一刻的力和速度成正比。快速完成同一条形状路径，只是用时更短，身体移动的量完全一样。要紧的只是形状经过的顺序。

#### 这个模型没算什么

**容易误解** 画面上的距离就是真实微米泳者每个周期会走的距离。

**正确理解** 三个等大小球排成一条直线，处在无边界的水中，用点力（Oseen）近似计算它们之间的流体耦合；泳者不受净外力。模型要求球半径远小于臂长，所以臂长不短于三个半径。这里没有布朗运动：一个周期内，1 µm 小球的热扩散比它游过的距离还远，真实的这么小的泳者要积累很多周期才看得出漂移。示踪粒子用同一个点力流场，离球面一个半径以内只作定性参考。

### 动手实验

1. 01

   #### 把动作倒着做

   选“原路往返，原地不动”，盯住小球旁边的一个示踪点看几个周期。

   **你会看到：** 示踪点和身体都沿原路来回，位置曲线围着一条水平线振荡，每周期距离读数为零。

2. 02

   #### 把闭合圈反过来

   比较“四步划水，向前游”和“倒着画圈，倒着游”。再在形状面板里拖动闭合圈的一个角。

   **你会看到：** 同一个圈反着走，距离大小相同、方向相反。把圈往短臂一侧、也就是更亮的区域扩，距离增加得最多。

3. 03

   #### 划快一点或慢一点

   先改“伸缩速度”，再改“划水幅度”。最后在场景里来回拖动右边的小球，自己画一种划法。

   **你会看到：** 伸缩速度改变周期和每周期耗能，不改变每周期距离。划水幅度较小时，距离大约随幅度的平方变化。只动一条臂，路径是一条线段，走不了。

物理结论

没有惯性，身体只能靠沿闭合路径改变形状来前进。圈的方向决定往哪走，圈住的面积决定走多远，走圈的快慢只决定花多久。

## 相关实验与文章

低雷诺数游动 · 阅读路径

### 没有惯性怎样游，从 Purcell 的扇贝到成对泳者

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **微生物一停手就停住**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/life-without-coasting/)
2. [实验 **Flapping Wing** 对照有惯性的扑翼](https://sandboxphysics.com/zh/labs/flapping-wing/)
3. [文章 **斯托克斯流只认眼前的推力**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/stokes-flow-has-no-memory/)
4. [实验 **旋转流变仪与 Couette–Poiseuille 流** 在剪切间隙里测黏度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/couette-poiseuille/)
5. [文章 **一张贝壳开开合合，走不出原地**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/the-scallop-theorem/)
6. [文章 **三颗小球、两条手臂和一张迁移率矩阵**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/three-spheres-and-a-mobility-matrix/)
7. [文章 **划一圈走多远，看它在形状空间圈住多大面积**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/swimming-is-an-area/)
8. [文章 **靠柔软的尾巴和旋转的螺旋绕开扇贝定理**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/flexible-oars-and-corkscrews/)
9. [文章 **精读 Najafi 与 Golestanian 的三球泳者论文**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/reading-najafi-golestanian/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)