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title: "薄透镜成像台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "透镜把物体的像成在哪里？屏幕什么时候接得到？成在物体每一点的光重新汇聚的地方。"
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last_modified: "2026-10-30"
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光学 021 · 透镜把像成在哪里

# 薄透镜成像台

**透镜把物体的像成在哪里？屏幕什么时候接得到？** 成在物体每一点的光重新汇聚的地方。用凸透镜、物体在焦距以外时，这一点在透镜后面，屏幕放在那里就接到清晰、倒立的像。物体在焦距以内，或者换成凹透镜，光只是看起来从物体那一侧发出：这是虚像，透过透镜看得见，屏幕上却永远接不到。

沿光具座移动发光的 F：透镜要么把清晰的像投到屏上，要么成一个只能透过透镜看到的虚像。看像在哪里、有多大。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

透镜按理想薄透镜处理，只追踪靠近光轴的光线，因此没有像差、色散和衍射。默认光焦度 10 屈光度、直径 25.4 mm，与 Thorlabs LA1509 平凸透镜一致（N-BK7 玻璃，焦距 100 mm）；换成别的光焦度时，是同样大小的理想透镜。光阑紧贴透镜，限制光锥的大小。靶是灯前黑色遮板上镂空的 F，高 10 mm，亮度均匀。对屏上的每一点，模型找出靶面上经过光阑把光送到这一点的那个圆盘，并精确算出圆盘里落在 F 上的部分。屏上的明暗就是这个比例；光阑面积和屏幕距离对每一点的影响相同，单独给出，即相对默认光具座的亮度。距离都从透镜量起：像在靶这一侧、是虚像时，像距为负；像倒立时，放大率为负。场景中，高度和宽度按沿光具座距离的 4 倍绘制，透镜也画得比实际厚；所有数值和屏幕图像都按真实尺寸计算。

物理教程

## 找出透镜把像成在哪里

**背景** 光具座上，一盏灯照亮的靶、一片透镜和一块白屏立在同一条导轨上。移动屏幕，直到屏上出现清晰、倒立的靶，这就是投影仪在做的事，也是相机对焦时做的事。同样这三个距离，还能说明为什么放大镜只能贴近书页才好用。

**为什么值得理解** 知道像落在哪里、有多大，就知道相机的底片或传感器该放在哪，投影仪离墙要多远，也会明白为什么有些像根本投不到屏上。

先抓重点

- **核心问题**: 透镜把物体的像成在哪里？屏幕什么时候接得到？
- **一句话直觉**: 靶上每一点都向透镜送出一锥光。透镜让每条光线偏折，偏折量与它离透镜中心的距离成正比，于是整锥光在透镜后某一点重新汇聚，这一点就是该点的像，离透镜 $s'$。它由靶距 $s$ 和焦距 $f$ 决定。靶在焦距以内时，光锥穿过透镜后仍在散开，只是看起来来自靶这一侧的一点：这是虚像，哪块屏都接不住。

### 核心数学模型

#### 薄透镜公式

$$
\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}=P
$$

物距 $s$ 和像距 $s'$ 都从透镜量起；凸透镜的 $f$ 为正，凹透镜为负；$f$ 以米为单位时，光焦度 $P=1/f$ 的单位是屈光度。$s'$ 为负表示像在物体这一侧，是虚像（OpenStax《大学物理》第 3 卷式 2.19）。$s=f$ 时出射光平行，像在无穷远。

#### 放大率

$$
m=\frac{h'}{h}=-\frac{s'}{s}
$$

像高 $h'$ 与物高 $h$ 之比（式 2.22）。$m$ 为负表示倒立：单片透镜成的实像都是倒立的，虚像都是正立的。$s=2f$ 时像与物等大，$m=-1$。

#### 屏幕不在像的位置，看到的是模糊光斑

$$
b=D\left\lvert 1-\frac{L}{s'}\right\rvert,\qquad y_{L}=-\frac{L}{s}\,y
$$

经过直径 $D$ 的光阑、在 $s'$ 处汇聚的光锥，到了 $L$ 处的屏幕上宽 $b$。高度为 $y$ 的靶点，光斑以穿过透镜中心的那条光线为中心，落在屏上 $y_{L}$ 处，所以不论清不清楚，屏上图案的位置和比例都一样。光阑越小，每个光锥越细，屏幕在更长一段距离内都能保持清楚。

#### 默认透镜的 100 mm 从哪来

$$
f=\frac{R}{n-1}=\frac{51.5\,\mathrm{mm}}{1.5168-1}=99.7\,\mathrm{mm}
$$

一面平、一面是半径 $R$ 的球面的透镜，焦距由这个式子给出。Thorlabs LA1509 的 $R=51.5\,\mathrm{mm}$，材料 N-BK7 在 587.6 nm 处 $n=1.5168$，算出 99.7 mm，标称值是 100 mm ± 1 %。

### 常见难点

#### 挡住一部分透镜，不会挡掉一部分像

**容易误解** 收小光阑或遮住半个透镜，图像就少一块。

**正确理解** 透镜的每一部分都收到靶上每一点的光，并把它送到同一个像点。开口变小，整个像变暗，屏幕不在位时还会更清楚，但完整的 F 一直都在。

#### 没有屏幕，实像也在

**容易误解** 像是屏幕造出来的。

**正确理解** 光真的在像点汇聚，过了像点又散开。屏幕只是把这些光散射到你眼里；像本来就在空中，从像的后方朝透镜看过去，就能直接看到它。

#### 虚像投不到屏上

**容易误解** 屏幕挪得够远，总能找到像。

**正确理解** 靶在焦距以内，或者用凹透镜时，离开透镜的光是散开的。屏幕放在哪里都聚不成一点：像只是光看起来发出的地方，在靶这一侧，只有透过透镜看的眼睛或相机才看得到。

#### 放大率不只由透镜决定

**容易误解** 一片透镜放大的倍数是固定的。

**正确理解** 放大率取决于靶放在哪里，不只取决于透镜：同一片 100 mm 透镜，靶在 150 mm 处放大两倍，在 200 mm 处等大，在 500 mm 处只有四分之一。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看一个清晰的像

   保持默认预设“投影：放大倒立”。

   **你会看到：** 屏上的 F 清晰、倒立、两倍大，高 20 mm。像距 300 mm，放大率 −2。

2. 02

   #### 拖动靶

   沿光具座把发光的 F 拖远，再拖回来。

   **你会看到：** 靶拖远，清晰的像就向透镜靠近、变小，屏上随之变模糊。场景里紫色的虚影标出像现在在哪；把屏幕挪过去，又清楚了。

3. 03

   #### 放到两倍焦距

   载入“两倍焦距：等大”。

   **你会看到：** F 在 200 mm 处，像也在 200 mm 处，等大、倒立：放大率 −1。

4. 04

   #### 做一台相机

   载入“相机：远处的靶，小像”。

   **你会看到：** F 在 500 mm 外，像在 125 mm 处，刚过焦点，只有四分之一大。远处的物体，像都落在离透镜约一倍焦距的地方。

5. 05

   #### 当放大镜用

   载入“放大镜：正立虚像”。

   **你会看到：** F 在 60 mm 处，进了焦距以内，光线穿过透镜后仍在散开。像是虚像，在靶这一侧 150 mm 处，正立、放大 2.5 倍。屏上只有模糊的光斑，模糊宽度随屏幕距离变化的曲线始终降不到零。

6. 06

   #### 换成凹透镜

   载入“凹透镜：总是缩小的虚像”。

   **你会看到：** 焦距 −100 mm 的透镜不论靶在哪里都让光散开。像是正立的虚像，0.4 倍大，在透镜前 60 mm。

7. 07

   #### 收小光阑

   载入“小光阑：不调焦也清楚”，再把光阑开回 25 mm。

   **你会看到：** 屏幕在清晰的像后面 60 mm。光阑 3 mm 时光斑只有 0.6 mm，F 还认得出；开到 25 mm，光斑变成 5 mm。小光阑放过的光只有全开时的 1.4 %。

物理结论

用 100 mm 的透镜、F 放在 150 mm 处，透镜后 300 mm 的屏上是清晰、倒立、两倍大的 F。放到 200 mm，也就是两倍焦距，像在 200 mm 处，等大；放到 500 mm，像在 125 mm 处，只有四分之一大。放到 60 mm，进了焦距以内，像变成正立、放大 2.5 倍的虚像，在靶这一侧 150 mm 处，屏上只剩模糊的光斑。焦距 −100 mm 的凹透镜总是给出缩小、正立的虚像：0.4 倍大，在透镜前 60 mm。屏幕偏离清晰位置 60 mm 时，把光阑从 25 mm 收到 3 mm，模糊光斑从 5 mm 缩到 0.6 mm，但通过的光只剩 1.4 %。

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