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title: "薄膜失稳与波长选择互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一层几乎平整的液膜，为什么会长出起伏，而不是越来越平？表面张力压平短波，基底吸引却能放大较长的起伏。"
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last_modified: "2026-10-28"
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FR18 · 液膜怎样选出间距

# 薄膜失稳与波长选择

**一层几乎平整的液膜，为什么会长出起伏，而不是越来越平？** 表面张力压平短波，基底吸引却能放大较长的起伏。两者竞争，选出增长最快的间距。变薄处的液体流向隆起，液膜的总体积保持不变。

放开一层带有细小起伏的液膜，看液体怎样聚成一排隆起。比较各个波数的实际增长和小振幅预测，也可以直接拖动液面，改变初始形状。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型采用周期边界和一维润滑近似：液体不可挥发、为牛顿流体，底部无滑移，忽略惯性。选定的润湿势保留前驱薄层，代替干燥接触线。厚度、时间和水平距离均已无量纲化，竖直方向放大。增长率由前六个时间单位内保存的模拟高度记录拟合；有限振幅和网格会使结果偏离连续模型参考。膜厚或小坡度检查失败时停止演化。不描述三维孔洞、分子尺度破裂和热涨落。

## 哪一种起伏长得最快？

青色柱：最近一次保存的高度记录给出的余弦峰值振幅。琥珀色点：从前六个时间单位的高度记录拟合的增长率。白线：连续模型的小振幅预测。

各模式的振幅 $a_n/h_0$

> 保存的模拟高度记录给出的傅里叶振幅。

前七个模式的早期增长 $\sigma_n$

> 早期拟合增长率与解析参考的比较。

怎样读这组比较

增长率为正时起伏放大，为负时衰减。有限网格近似空间导数，有限振幅又会让模式彼此耦合。“小振幅检验”可减小后一种影响。谱柱随图案更新，增长率点始终保留早期拟合窗口。

所显示的高度均为模拟结果，没有使用实验测高数据，也不预言分子尺度破裂位置。

物理教程

## 两种作用选出一种间距

**背景** 一层涂膜看起来很平，仍可能不稳定。厚度稍有不同，液面的弯曲程度和它受到的基底作用都会改变。

**为什么值得理解** 最先显眼的隆起，未必来自起初最大的起伏。小一点的波，只要长得更快，也能后来居上。

先抓重点

- **核心问题**: 一层几乎平整的液膜，为什么会长出起伏，而不是越来越平？
- **一句话直觉**: 短波要付出较多曲率能，较长的波却能靠厚薄分开降低润湿能。

### 核心数学模型

#### 液体流动与体积守恒

$$
\partial_t h=\partial_x\!\left(h^3\partial_x\mu\right),\qquad \mu=-\gamma\partial_{xx}h+f'(h)
$$

高度以初始平均厚度为单位，水平距离和时间采用模型尺度。化学势的空间差推动液体沿基底流动；周期通量保持总体积。

#### 留下一层薄液体的润湿势

$$
f(h)=-\frac{A}{2h^2}+\frac{A b^3}{5h^5}
$$

吸引项倾向于让液体变薄，短程排斥在很薄时迅速增强。势能在前驱膜厚度处最低。这里采用教学势，没有拟合某种材料的参数。

#### 小正弦起伏的增长率

$$
\sigma(k)=-k^2\!\left[\gamma k^2+f''(1)\right],\qquad k_{\max}=\sqrt{\frac{-f''(1)}{2\gamma}}
$$

波数表示每单位模型长度走过多少弧度。增长率为正，起伏就放大。润湿势曲率为负时才有最快增长模式。下方白线是连续模型预测，彩点来自保存的模拟高度。

### 常见难点

#### 表面张力与失稳

**容易误解** 表面张力把液体拉成水滴，所以它让平膜失稳。

**正确理解** 在这个平膜模型中，毛细作用压低每一个傅里叶模式。失稳来自润湿势。把基底吸引调到零，就能看到所有起伏逐渐减小。

### 动手实验

1. 01

   #### 先猜隆起间距

   选“隆起逐渐长大”，比较最高的谱柱和早期增长率点。

   **你会看到：** 几个模式以不同速度增长。再往后，非线性流动改变振幅，模式也开始彼此耦合。

2. 02

   #### 关掉基底吸引

   选“起伏逐渐抹平”，观察同一种子给出的初始起伏。

   **你会看到：** 只剩毛细作用，液膜逐渐变平。谱柱下降，自由能也随之降低。

3. 03

   #### 改一改初始液面

   在液面上拖一下，松手后继续演化。再选“小振幅检验”，仔细比较增长率。

   **你会看到：** 拖动会加入局部起伏，同时保持体积，随后重新记录。起始振幅越小，越接近线性预测。

物理结论

某些波长降低润湿能的收益超过毛细代价时，液膜就会长出图案。

## 相关实验与文章

动态界面 · 阅读路径

### 曲率、薄膜、温差流与液丝

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **把一层液体的运动收进高度方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/lubrication-flow/)
2. [文章 **噪声里哪一种波长会先长大**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/mode-selection/)
3. [文章 **液滴边缘怎样越过固体表面**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/contact-lines/)
4. [文章 **从增长率读到纳米薄膜的涨落谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/paper-reading/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)