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title: "厚透镜设计器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "厚透镜里，光看起来在哪里折弯？这个位置怎样找出来？在后主平面上；透镜在空气中时，后节点也在这里。"
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last_modified: "2026-10-29"
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光学 022 · 厚透镜在哪里折弯光线

# 厚透镜设计器

**厚透镜里，光看起来在哪里折弯？这个位置怎样找出来？** 在后主平面上；透镜在空气中时，后节点也在这里。它可能在玻璃里，也可能在玻璃外，焦距从它量起，而不是从玻璃表面。要找到它，把透镜放在转台上，对着平行光来回转：只有转轴正好穿过后节点，会聚的光斑才一动不动。

让厚透镜在平行光中来回转动，移动转轴，直到会聚的光斑停住不动：这时转轴就在后节点上。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

每条光线都用三维 Snell 定律精确追迹，穿过两个球面，波长只取 587.6 nm，不考虑色散、衍射、反射损失和杂散光。焦距、主平面和节点按两个球面的近轴光学计算，描述的是靠近光轴的光线；追迹出的光斑还带着透镜的球差。透镜在空气中，所以节点和主点重合。默认透镜与 Thorlabs LA1951 一致：N-BK7 玻璃，直径 25.4 mm，凸面半径 13.1 mm，厚 11.7 mm，焦距 25.4 mm，后焦距 17.6 mm。每片透镜都按这 25.4 mm 的直径截取；某个表面先变成半球、或两个表面先相交时，就截在那里。准直管发出的光严格平行，转台绕严格竖直的轴转动；相机只在透镜正对光束时对一次焦，透镜转动时不再移动。焦点离玻璃太近时，相机停在刚好碰不到转动透镜的地方。薄透镜误差的比法是：用去掉厚度项的透镜制造者公式，把透镜看成位于厚度中点，算出的焦点与真实焦点相比。场景按真实比例绘制。

物理教程

## 找出厚透镜的后节点

**背景** 真实的透镜有两个弯曲的玻璃面，相隔几毫米，光在每个面上各折一次。从外面看，这一对表面仍像是只在一个平面上把光折了一次；这个平面可能在玻璃里，甚至在玻璃外。光学测试台用节点滑轨找它：让透镜在平行光里来回转，移动转轴，直到会聚的光斑不再移动。

**为什么值得理解** 透镜上标的焦距是从这个平面量起的，不是从玻璃表面。知道它在哪里，就知道传感器该放在透镜后多远，也会明白同一片透镜翻个面，焦点离玻璃的距离为什么会变。

先抓重点

- **核心问题**: 厚透镜里，光看起来在哪里折弯？这个位置怎样找出来？
- **一句话直觉**: 透镜在空气中时，对准前节点射入的光线，会从后节点 $N'$ 沿原方向射出。平行光的焦点就在这条不偏折的光线上，所以透镜一转，焦点就跟着 $N'$ 横向移动。只有转轴正好穿过 $N'$，光斑才停住；这时从转轴到焦点的距离就是焦距。

### 核心数学模型

#### 带厚度项的透镜制造者公式

$$
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}+\frac{(n-1)\,d}{n\,R_{1}R_{2}}\right)
$$

每个面的折射都按 OpenStax《大学物理》第 3 卷式 2.11 计算；让光线穿过前表面、走过玻璃、再穿过后表面，就得到这个焦距。$R_{1}$、$R_{2}$ 是前后两个面的半径，曲率中心在表面后方时为正；$d$ 是中心厚度，$n$ 是折射率。去掉最后一项，就是薄透镜的公式。Lab 的滑块调的是曲率 $1/R$，单位 $\mathrm{m^{-1}}$，平面就是零。

#### 后主平面在哪里

$$
x_{H'}=-\frac{f\,(n-1)\,d}{n\,R_{1}},\qquad f_{\mathrm{B}}=f+x_{H'}
$$

从后表面量起，在它前方为负。后焦距 $f_{\mathrm{B}}$ 是从玻璃到焦点的距离。凸面朝向光束的平凸透镜，$f=R_{1}/(n-1)$，$x_{H'}=-d/n$：LA1951 的后主平面在玻璃里 $11.7\,\mathrm{mm}/1.5168=7.71\,\mathrm{mm}$ 处，后焦距 $f_{\mathrm{B}}=25.36-7.71=17.65\,\mathrm{mm}$，Thorlabs 标的是 17.6 mm。在空气中，后节点 $N'$ 就在这个平面上。

#### 光斑跟着后节点走

$$
\Delta y\approx\left(x_{N'}-p\right)\sin\alpha
$$

透镜绕位于 $p$ 的轴转过 $\alpha$，$N'$ 横向移动这么多，焦点也跟着移动。$p=x_{N'}$ 时光斑不动，这就是 P. J. Reardon 和 S. Morel 介绍的节点滑轨测量。Lab 里追迹出的光斑带着透镜的像差，所以和这条规律略有出入，默认设置下约差 5 %。

#### 玻璃球

$$
f=\frac{nD}{4(n-1)}
$$

代入 $R_{1}=D/2$、$R_{2}=-D/2$、$d=D$，第一个公式就给出这个焦距，从球心量起；两个主平面和两个节点都在球心。直径 25.4 mm 的 N-BK7 球，$n=1.5168$，$f=18.6\,\mathrm{mm}$，焦点只在玻璃外 5.9 mm。

### 常见难点

#### 焦距不从玻璃量起

**容易误解** 焦距就是透镜到焦点的距离。

**正确理解** 从透镜的哪里量？LA1951 的焦点在平面后 17.6 mm，焦距却是 25.4 mm，是从玻璃里 7.7 mm 处的后主平面量起的。从玻璃量到焦点的是后焦距，是另一个数。

#### 节点不在透镜正中

**容易误解** 透镜绕自己的中心转，像就不会动。

**正确理解** LA1951 的中点在平面前 5.85 mm，后节点却在平面前 7.71 mm；绕中点转，光斑还在摆。只有对称的透镜，比如玻璃球，节点才在正中。

#### 翻个面，焦距不变

**容易误解** 把平凸透镜翻过来，焦距就变了。

**正确理解** 焦距仍是 25.4 mm；变的是主平面在玻璃中的位置，所以焦点从玻璃后 17.6 mm 移到 25.4 mm。像差也变了：凸面朝向平行光时，两个面分担折射，光斑半径是 0.054 mm，而不是 0.24 mm。

#### 在空气中，节点就是主点

**容易误解** 节点是另外一对点，有自己的位置。

**正确理解** 透镜两侧是同一种介质时，比如在空气中，节点和主点重合。只有两侧介质不同时它们才分开，比如眼睛，后面充满了液体。

### 动手实验

1. 01

   #### 看光斑摆动

   保持默认预设“转轴在透镜后：光斑摆动”。

   **你会看到：** 转轴在平面后 10 mm，离后节点 17.7 mm。透镜来回转 ±8°，相机上的光斑摆动 ±2.6 mm，与规律给出的 2.5 mm 相近。

2. 02

   #### 拖动转轴

   在转台上把转轴朝透镜拖，一直拖进玻璃里。

   **你会看到：** 摆动越来越小，停住，越过标出后节点的紫色小球后又反向摆动。数据行里追迹出的曲线正好在那里穿过零。

3. 03

   #### 让光斑停住

   载入“转轴在节点上：光斑不动”。

   **你会看到：** 转轴在玻璃里 7.7 mm 处，光斑移动不到 0.002 mm。从转轴到相机，玻璃里 7.7 mm 加上空气中 17.6 mm，共 25.4 mm，正是焦距。

4. 04

   #### 把透镜翻过来

   载入“平面朝前：节点换了位置”。

   **你会看到：** 焦距还是 25.4 mm，焦点却到了凸面后 25.4 mm，后节点就在凸面上。转轴仍留在玻璃里 7.7 mm 处，光斑摆动 ±1.0 mm，光斑半径也从 0.054 mm 涨到 0.24 mm。

5. 05

   #### 换成玻璃球

   载入“玻璃球：节点在球心”。

   **你会看到：** 绕球心转，光斑不动。焦距 18.6 mm，焦点在玻璃外 5.9 mm；薄透镜公式给出 12.3 mm，把焦点算近了 6.4 mm。

6. 06

   #### 换一种玻璃

   载入“重火石玻璃：焦距变短”，再调玻璃折射率。

   **你会看到：** N-SF11 的折射率 1.785，焦距缩到 16.7 mm，后焦距 10.1 mm，后节点移到玻璃里 6.6 mm 处。

7. 07

   #### 把透镜变薄

   载入“薄透镜：简单公式够用”，再用中心厚度把它加厚。

   **你会看到：** 3.6 mm 厚的 LA1509 焦距 99.7 mm，薄透镜公式只把焦点算偏 0.57 mm。玻璃加厚时，焦距不变，因为平面没有光焦度；焦点和主平面却都向光束一侧移动，过程图里看得到。

物理结论

默认的 LA1951 透镜厚 11.7 mm，焦距 25.4 mm，焦点却只在平面后 17.6 mm：后节点在玻璃里面 7.7 mm 处。转轴放在透镜后 10 mm，透镜转 ±8° 时光斑摆动 ±2.6 mm；转轴移到玻璃里 7.7 mm 处，光斑移动不到 0.002 mm。把透镜翻过来，焦距仍是 25.4 mm，焦点却移到凸面后 25.4 mm，光斑半径也从 0.054 mm 涨到 0.24 mm。玻璃球的节点在球心，焦距 18.6 mm，薄透镜公式却给出 12.3 mm；而对只有 3.6 mm 厚的 LA1509，同一个公式在 100 mm 的焦距上只差 0.57 mm。

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