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title: "热透镜与高功率扩展互动实验｜Sandbox Physics"
description: "高功率激光的光束变差了，单靠加强冷却能修好吗？单靠冷却修不好。"
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last_modified: "2026-10-27"
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L32 · 热量改变光程

# 热透镜与高功率扩展

**高功率激光的光束变差了，单靠加强冷却能修好吗？** 单靠冷却修不好。晶体吸收泵浦后形成温度梯度，像一块透镜那样让光线弯折，还带来应力。光束好不好，看的是整个截面上的相位分布，不只是最高温度。补偿元件也只能纠正一部分。

看吸收的泵浦功率怎样变成热量、应力和光学相位。用相机记录探针光，拟合补偿透镜，再把光束质量和未补偿参考腔的稳定性模型对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

元件是一根长四毫米的圆柱，侧面冷却，吸收的泵浦按规定比例变成热。径向有限体积法给出随时间变化的温度；材料系数取示例常数，由此得到简化的平面应力、端面鼓胀和标量光程。弱探针相机让同一个复光场依次穿过受热晶体和补偿器。冷态图像是单独的参考；采样分辨不了光场时，拒绝采集。主动激光另行计算：三十厘米长的对称腔，两面镜子曲率为五十厘米，中心放热透镜和补偿器。同一温度分布决定高斯模式、泵浦利用率、残余波前造成的排斥损耗和应力偏振损耗，再由准稳态四能级饱和增益方程求出腔内循环功率和提取功率。吸收的泵浦能量分成四份：规定的热量、有用输出、被排斥的光功率和未提取的荧光。热只单向影响激光：热份额和饱和强度固定，不考虑增益随温度变化、发热随提取变化、多模恢复、断裂和损伤。高斯设计不稳定时，单模输出为零，但这不表示真实激光完全不再发光。扩展曲线是计算出的稳态，不是从相机反推的效率，也不是标定过的硬件性能。画面上的装置仍是探针诊断台。

激光基础 · 光、增益与反馈

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物理依据： [MIT：相干与光谱](https://ocw.mit.edu/courses/res-6-006-video-demonstrations-in-lasers-and-optics-spring-2008/resources/coherence-length-and-source-spectrum/) · [速率方程](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter2/) · [泵浦与增益介质（7.2 节）](https://ocw.mit.edu/courses/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/bf3bdeb971819ddc9c68719d28bb2745_classnotes.pdf) · [激光动力学](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter4/)

物理教程

## 冷却与光束质量回答不同问题

**背景** 泵浦可以把晶体中心加热得比边缘更厉害。

**为什么值得理解** 吸收的泵浦功率变成热量，又带来应力和光学相位的变化。用相机记录探针光，拟合一块补偿透镜，再把光束质量和单独的腔稳定性模型对照。

先抓重点

- **核心问题**: 高功率激光的光束变差了，单靠加强冷却能修好吗？
- **一句话直觉**: 冷却能降低温度，但热透镜来自温度梯度，补偿器也只能去掉其中的二次部分。

### 核心数学模型

#### 热量注入与导出

$$
\begin{aligned}P_h&=\eta_hP_{\rm abs}\\\rho c\,\partial_tT&=\kappa\nabla_r^2T+q(r)\\-\kappa T\prime(R)&=h[T(R)-T_c]\end{aligned}
$$

侧面把热量传给冷却液。换热系数有限，整块晶体的温度也会跟着抬高。

#### 高斯泵浦下的稳态梯度

$$
\begin{aligned}T\prime(r)&=-\frac{P_h(1-e^{-2r^2/w_p^2})}{2\pi\kappa Lr\,Z}\\Z&=1-e^{-2R^2/w_p^2}\end{aligned}
$$

热量和热导率不变时，稳态径向梯度与侧面换热系数无关。

#### 温度产生应力

$$
\begin{aligned}A(r)&=\frac{2}{r^2}\int_0^rT(s)s\,ds\\\sigma_r&=\frac{E\alpha_T}{2}[A(R)-A(r)]\\\sigma_\theta&=E\alpha_T\!\left[\frac{A(R)+A(r)}2-T(r)\right]\end{aligned}
$$

这里把晶体看成一片片外边界自由、各向同性的平面应力薄片，这是有意采用的简化。

#### 穿过受热晶体的光程

$$
\begin{aligned}\Delta\mathcal{L}&=L\chi[T(r)-T(0)]\\\chi&=n_T+(n-1)(1+\nu)\alpha_T\\\mathcal{L}_{\rm fit}&=b-\tfrac12\Phi r^2\end{aligned}
$$

光程既包括折射率变化，也包括端面相对中心的鼓胀。只拟合离焦，仍会留下残余像差。

#### 焦面上的图像

$$
\begin{aligned}E_{\rm out}&=e^{-r^2/w_b^2}e^{ik(\Delta\mathcal{L}+Cr^2/2)}\\E_f&\propto\mathcal{F}_{2D}[E_{\rm out}]\\I_f&=|E_f|^2\end{aligned}
$$

像素和过中心的截线来自同一个计算光场。理想的二次补偿器去不掉高阶相位。

#### 两项单独的诊断：退偏与腔稳定性

$$
\begin{aligned}\delta(r)&=kLC_s(\sigma_\theta-\sigma_r)\\\eta_\perp&=\tfrac12\langle\sin^2(\delta/2)\rangle\\\left|\frac{A+D}{2}\right|&<1\end{aligned}
$$

应力造成的偏振损失和近轴腔的稳定性，都是单独计算的参考，既不是从相机图像重建的，也不是激光效率。

#### 运转激光的增益等于损耗

$$
\begin{aligned}P_u&=(1-\eta_h)P_{\rm abs}\,\mathcal O\\g(P_c)&=P_u/(P_s+P_c)\\P_c&=\max(0,P_u/\Lambda-P_s)\end{aligned}
$$

计算用一个四能级高斯腔，考虑受热后的腔模和它对泵浦的利用率。热份额事先给定，所以只有热影响激光，激光不会反过来改变发热。

#### 吸收的泵浦功率去了哪里

$$
\begin{aligned}P_{\rm out}&=\Lambda_{\rm ext}P_c\\\eta_{\rm opt}&=P_{\rm out}/P_{\rm abs}\\P_{\rm abs}&=P_h+P_{\rm out}\\&\quad+P_{\rm rejected}+P_{\rm fl}\end{aligned}
$$

残余相位、偏振排斥和模式变化都会降低激光输出。相机中心区域收集到的比例，仍是单独的探针光统计量。

### 常见难点

#### 冷却液够冷就没有热透镜

**容易误解** 边缘温度低，波前就是平的。

**正确理解** 梯度取决于沉积热量、热导率和泵浦几何。

#### 相机读数就是激光效率

**容易误解** 相机中心区域的收集比例，就是激光的总转换效率。

**正确理解** 相机测的是一束固定的标量弱探针光。激光效率另行计算，依据是受热腔模和准稳态的增益损耗平衡，不从相机收集比例推断。

### 动手实验

1. 01

   #### 加热元件

   点“推进并采集”，再比较“高热与紧泵斑”和“扩大泵斑”两个预设。

   **你会看到：** 同样的热量摊到更宽的区域，相位梯度就变弱。

2. 02

   #### 检验冷却的作用

   泵浦和热份额不变，比较不同的侧面冷却。

   **你会看到：** 温度变了，但热导率不变时，稳态热透镜几乎不变。

3. 03

   #### 补偿后重新采集

   加热后拟合补偿器，把采集到的像素和冷态参考对比。

   **你会看到：** 离焦改善了，但非二次像差和应力退偏仍然存在。

4. 04

   #### 计算主动扩展

   点“计算主动扩展”，再扩大泵斑或减少沉积热量。

   **你会看到：** 比较冷热两种状态下的输出、激光的光学效率，以及单独的探针光收集比例。

物理结论

温度、相位和记录到的焦斑要分开看，还要记住补偿器修不好什么。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)