---
title: "终端下落与阻力定律互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两个下落质量，能揭示阻力定律吗？能。让大小形状相同、质量不同的两个物体下落，各自达到阻力与重力平衡的终端速度。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/terminal-fall/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/terminal-fall/"
last_modified: "2026-10-27"
---

M019 · 受力与测量

# 终端下落与阻力定律

**两个下落质量，能揭示阻力定律吗？** 能。让大小形状相同、质量不同的两个物体下落，各自达到阻力与重力平衡的终端速度。阻力与速度成正比时，质量加倍，终端速度也加倍；阻力与速度平方成正比时，只增加到约 1.4 倍。

释放两个截面积相同、质量不同的物体，对比线性阻力和平方阻力。让物体从超过终速的状态出发，再根据采样到的速率估计阻力。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

力学过程是理想化的。接触怎样处理、传感器测的是什么，页面上都写明了。

物理教程

## 终端下落与阻力定律

**背景** 重力向下拉，阻力随速度变大。阻力定律不同，终速随质量变化的方式就不同，速度趋近终速的过程也不同。

**为什么值得理解** 释放截面积相同、质量不同的两个物体，对比线性阻力和平方阻力，再从超过终速的状态出发。最后试着用采样到的速率推断阻力。

先抓重点

- **核心问题**: 两个下落质量，能揭示阻力定律吗？
- **一句话直觉**: 到达终速时合力为零；以超过终速的速度释放，物体反而会减速。

### 核心数学模型

#### 以向下为正的运动方程

$$
m\dot u=mg-D(u),\qquad u=-\dot y\geq0
$$

两种阻力都与向下的速度方向相反。速度超过终速时，向下加速度可以为负。

#### 两种可比较的阻力定律

$$
\begin{aligned}D_1&=bu,\quad u_{T,1}=mg/b\\D_2&=cu^2,\quad c=\rho C_D A/2\\u_{T,2}&=\sqrt{mg/c}\end{aligned}
$$

线性系数单独指定；本模型里，平方系数是常数。

#### 由原始记录推断阻力

$$
\widehat D_i=m\left(g-\widehat{\dot u}_i\right)
$$

局部速率斜率只用原始时间和速率，不读取参考轨迹。

#### 功与能

$$
\Delta(K+U)=-\int_0^T D(u)u\,\mathrm dt
$$

这个积分单独采样计算，保留了有限间距带来的误差。

### 常见难点

#### 一段平台定不了阻力定律

**容易误解** 看到终速平台，就能确定整条阻力定律。

**正确理解** 一小段平台可能同时符合几种定律。比较两个质量、记录宽范围的瞬态，会更有帮助；但速率噪声、微分窗口和常系数假设，都可能让估出的系数偏掉。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较质量的影响

   在相同质量比下，切换线性、平方和真空。

   **你会看到：** 不同阻力定律下，终速随质量变化的方式不同；真空中两者加速度相同。

2. 02

   #### 从终速以上出发

   选择超终速释放，再拖动球回看下落。

   **你会看到：** 阻力大于重力，向下速率逐渐减小。

3. 03

   #### 先采集，再推断

   采集一段宽范围瞬态，比较两种拟合的残差。

   **你会看到：** 受力散点来自对记录速率求导。

4. 04

   #### 检验估计

   选择带噪微分，在“质量、时序与传感器设置”里加大微分窗口。

   **你会看到：** 噪声变小了，但对瞬态的平滑会带来偏差。

物理结论

终速是受力平衡的结果。带噪声的瞬态记录可以当证据，但能说明的东西有限。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)