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title: "网球拍定理互动实验｜Sandbox Physics"
description: "自由物体绕中间那根轴旋转，为什么会一次次翻过来？因为绕中间轴转本身就不稳定。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M056 · 自由刚体的中间轴不稳定

# 网球拍定理

**自由物体绕中间那根轴旋转，为什么会一次次翻过来？** 因为绕中间轴转本身就不稳定。另外两个方向上一点点晃动，起初会指数式长大，物体一次又一次翻转，角动量和能量却始终不变。绕惯量最大或最小的轴转，只会轻轻摇晃。

让不对称刚体分别绕三个主轴自转，再加上一点微小的横向自转。转动三维视角，比较半周翻转和稳定旋转。观察体轴角速度，以及角动量球和能量椭球的交线。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

物体是自由空间里的均匀长方体，不受外力矩，也不考虑阻尼、形变和碰撞。定理以网球拍命名，模型却是长方体，不是标定过的真实球拍。面上的条纹是无质量的标记。相机跟随质心，平动与转动互不影响。主轴按尺寸编号，编号不一定对应惯量大小顺序。线性增长率和振荡速率只是局部估计；大幅翻转用完整的非线性方程计算。不加扰动、精确绕主轴的旋转始终是精确解，绕不稳定轴也一样。球面和椭球画在同一套体坐标角动量坐标里。完整记录的曲线包含已经算好的后续时刻样本。自转太快时，屏幕帧率可能造成混叠；暂停后用精细单步观察。

物理教程

## 网球拍定理

**背景** 同一个刚体释放三次，每次绕一个主轴自转，形状和扰动都一样。

**为什么值得理解** 自由物体可以翻转，而它的能量和惯性系中的角动量始终守恒。

先抓重点

- **核心问题**: 绕哪个主轴自转时，微小的横向自转会被放大？
- **一句话直觉**: 绕中间惯量轴自转时，小扰动起初按指数增长；随后的非线性运动让体轴一次次翻转，守恒的角动量矢量在空间中始终不变。

### 核心数学模型

#### 长方体的主惯量

$$
I_1=\frac{m(b^2+c^2)}{12},\quad I_2=\frac{m(a^2+c^2)}{12},\quad I_3=\frac{m(a^2+b^2)}{12}
$$

改变尺寸可能打乱惯量的大小顺序，但轴的编号始终跟着刚体。

#### 欧拉方程

$$
I_1\dot\omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3\quad\text{and cyclic permutations}
$$

没有力矩，体坐标系里的角速度也可能变化，因为体坐标系本身在转。

#### 惯性系中的角动量

$$
\mathbf L=R I\boldsymbol\omega_b,\qquad\dot{\mathbf L}=\mathbf 0
$$

这个矢量在惯性系中固定不动，它沿运动体轴的分量却在变。

#### 角动量球与能量椭球

$$
\sum_i L_{b,i}^2=|\mathbf L|^2,\qquad\sum_i\frac{L_{b,i}^2}{I_i}=2E
$$

两个曲面都用体坐标角动量表示，不是角速度。青色轨迹就在两者的交线上。

#### 中间轴附近的增长率

$$
\lambda=|\Omega|\sqrt{\frac{(I_j-I_{\min})(I_{\max}-I_j)}{I_{\min}I_{\max}}}
$$

只有所选轴的惯量严格居中时，才有这个正的增长率。它描述无穷小扰动刚开始怎样增长，不是翻转频率。

#### 稳定轴附近的振荡

$$
\nu=|\Omega|\sqrt{\frac{(I_j-I_k)(I_j-I_\ell)}{I_k I_\ell}}
$$

对最小和最大惯量轴，根号里的乘积为正。两个惯量相等时，指数增长的预测不再成立，但这不代表运动会因耗散而停下来。

### 常见难点

#### 没有力矩也会翻转

**容易误解** 没有外力矩，角速度就应该保持不变。

**正确理解** 保持不变的是惯性系中的角动量。刚体沿不同轴的惯量不同，物体一转，同样的角动量对应的角速度就跟着变。

#### 轴的编号不决定稳定性

**容易误解** 第二轴永远是中间轴，看编号就知道稳不稳定。

**正确理解** 编号跟着刚体走。改了尺寸以后，要读出三个惯量，才知道哪根轴居中。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较三个轴

   依次运行“最小惯量轴”“中间轴翻转”“最大惯量轴”预设，再点“回看完整记录”。

   **你会看到：** 绕中间轴自转时，这根轴会翻过来；绕另外两个轴时，偏离始终很小。

2. 02

   #### 扰动精确解

   比较“精确无扰动”和“极小扰动”预设，再拖动橙色手柄改变扰动大小。

   **你会看到：** 没有扰动时，不稳定的自转也能一直精确保持。初始扰动越小，离开这个状态就越晚。

3. 03

   #### 跟随两个曲面的交线

   在翻转附近暂停，观察体轴角速度，以及角动量球和能量椭球。

   **你会看到：** 体坐标分量同时沿两个守恒曲面移动，惯性系中的角动量保持不变。

4. 04

   #### 改变形状

   让两个或三个尺寸相等，再比较改变质量的效果，以及不同步长下的误差。

   **你会看到：** 惯量相等时，小偏离的增长规律随之改变。质量只按比例缩放能量和角动量，不改变姿态。

物理结论

判断一个自转是否失稳之前，先加上微小扰动，弄清三个惯量的大小顺序，再检查运动是否同时落在两个守恒曲面上。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)