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title: "弹簧摆与内共振互动实验｜Sandbox Physics"
description: "弹簧上下伸缩的能量，能转给左右摆动吗？能，只要伸缩振动的频率接近摆动频率的两倍。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M088 · 一根弹簧，两种运动

# 弹簧摆与内共振

**弹簧上下伸缩的能量，能转给左右摆动吗？** 能，只要伸缩振动的频率接近摆动频率的两倍。这时一点点横向扰动就会长大：能量从上下伸缩流进左右摆动，再流回来，反复交换，总能量几乎不变。

把弹簧拉长，轻推一下摆锤，然后松手。调节两个小振幅频率之比，看能量怎样在伸缩和摆动之间来回转移；再加一个侧向初速度，看摆锤在三维空间里怎么动。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

一个质点挂在理想弹簧上，弹簧只沿自身方向出力，质点可以在三维空间里运动。弹簧没有质量，不会屈曲，也没有阻尼。这里显示的是模拟结果，不是实测数据。

物理教程

## 把能量借给摆动的弹簧

**背景** 挂在弹簧上的质点，可以沿弹簧上下伸缩，也可以朝两个横向方向摆动。位移一旦不算很小，重力就会把这几种运动耦合起来。

**为什么值得理解** 不用电机，也没有阻尼，就能看到能量从一种运动转到另一种运动。

先抓重点

- **核心问题**: 以竖直振动为主的释放，为什么会长出大幅摆动？
- **一句话直觉**: 小振幅下的伸缩频率接近摆动频率的两倍时，一点点横向扰动就能从伸缩运动里吸走能量。

### 核心数学模型

#### 笛卡尔坐标下的运动方程

$$
\ddot{\mathbf r}=-k(r-\ell_0)\frac{\mathbf r}{r}-\hat{\mathbf y}
$$

取质量和重力加速度都为一，竖直坐标向上。弹簧力始终沿着质点和悬点的连线。

#### 小振幅下的伸缩与摆动频率

$$
\omega_r=\sqrt{k},\quad\omega_s=1,\quad\ell_0=1-\frac1k
$$

挂上质点后的平衡长度固定为一。这两个频率来自线性化方程，不是从非线性运动里测出来的。

#### 伸缩运动的能量

$$
E_r=\frac{\dot r^2}{2}+\frac{k(r-1)^2}{2}
$$

弹簧势能围绕挂重后的平衡位置配方，沿弹簧方向的那部分重力已经算在里面。

#### 摆动运动的能量

$$
E_s=\frac{|\dot{\mathbf r}|^2-\dot r^2}{2}+r+y,\quad E=E_r+E_s
$$

这样分解总能量是精确的，两部分都不会为负。摆动部分包括横向动能和随弹簧方向变化的重力势能。两部分各自都不守恒。

#### 绕竖直轴的角动量

$$
L_y=z\dot x-x\dot z=\mathrm{constant}
$$

弹簧力是中心力，重力对竖直轴没有力矩，这个角动量就保持不变。

### 常见难点

#### 摆动需要种子

**容易误解** 完全竖直地释放，迟早也会摆起来。

**正确理解** 从完全竖直开始的运动会一直保持竖直，没有任何东西打破这种对称。要靠初始倾角或侧向速度，给摆动一个小小的起点。

#### 内共振不需要外部驱动

**容易误解** 摆动变大，说明系统获得了能量。

**正确理解** 能量来自伸缩运动。这个模型是自由的保守系统，没有电机，刚度也不随时间变化。

### 动手实验

1. 01

   #### 在共振附近释放

   选择共振交换，按播放，也可以拖动时间条看完整记录。

   **你会看到：** 橙色伸缩能量条变短时，蓝色摆动能量条变长；之后能量又流回去。

2. 02

   #### 偏离共振再比较

   选择偏离共振，初始伸长和倾角保持不变。

   **你会看到：** 横向运动长得慢得多，挂重后的平衡长度不变。

3. 03

   #### 去掉横向种子

   选择完全竖直。

   **你会看到：** 摆锤只上下做严格的简谐振动，摆动能量一直是零。

4. 04

   #### 打开第三个方向

   选择三维释放，比较正视图和俯视图。

   **你会看到：** 轨迹离开初始平面，绕竖直轴的角动量保持不变。

5. 05

   #### 检查数值精度

   打开使用半步长，比较记录中的最大能量误差。

   **你会看到：** 二阶积分器的能量误差变小，物理初态没有改变。

物理结论

按精确公式算出的总能量几乎不变，伸缩和摆动两部分却来回交换；振幅一大，运动就不再按线性频率走。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)