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title: "两个泳者：划水节奏决定相吸还是相斥互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两个一模一样的微小泳者，为什么同步时靠拢、不同步时分开？每个泳者都在搅动周围的水，这种搅动每划一次就让旁边的泳者稍稍转向。"
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last_modified: "2026-10-29"
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低雷诺数 · 泳者之间的相互作用

# 两个泳者：划水节奏决定相吸还是相斥

**两个一模一样的微小泳者，为什么同步时靠拢、不同步时分开？** 每个泳者都在搅动周围的水，这种搅动每划一次就让旁边的泳者稍稍转向。转向是让两者靠拢还是分开，取决于两者划水的节奏怎样对齐。在这个模型里，并排且同步划水的两个泳者会转向彼此，大约 2700 个周期后相遇；节奏相差半个周期时，它们转向外侧、逐渐分开。

把两个三球泳者并排放置，选择它们划水的相位差：同步时越游越近，相差半个周期时互相推开。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

两个泳者在无边界水中的同一平面内运动。六个小球都按点力处理，用 Oseen 张量耦合；每个泳者对水的净力和净力矩都为零。不同泳者的小球靠近到几个半径以内时模型失效，运行就此停止。位置每个划水周期记录一次，累积几千个周期。这里没有热噪声；真实泳者的节奏会被热噪声打乱，而这里两者的划水始终严格对齐。

横向距离

$47.4\,\mu\mathrm{m}$

甲的朝向

$2.03^{\circ}$

乙的朝向

$-2.03^{\circ}$

已划水周期数

$900$

粉色是甲，蓝色是乙。右图：乙在相距 10 倍臂长的各方位时甲的转角，对照 Pooley 等人最低阶结果的角度形状，在 90° 处对齐。

更多数值与原始记录

按每周期 0.4 s 计的游动时间 $360\,\mathrm{s}$

两者平均前进距离 $74.1\,\mu\mathrm{m}$

两泳者小球的最近距离 $46.7\,\mu\mathrm{m}$

JSON 记录包含模型版本、单位、几何参数、每次起点或参数改动、两条采样轨迹，以及方位检验的数值。

泳者、划水方式和起始摆放取自 Pooley、Alexander 与 Yeomans（2007）。 [阅读 2007 年论文](https://arxiv.org/abs/0705.3612)

物理教程

## 泳者之间的作用取决于划水的时机

**背景** 低雷诺数下的泳者把周围的水搅动起来，但从远处看平均流动很弱。即便如此，靠得近的两个泳者仍会互相引导，只是要几千个划水周期才看得出来。

**为什么值得理解** Pooley、Alexander 与 Yeomans 跟踪了两个相同的三球泳者，发现它们相互吸引、排斥还是来回摆动，不仅取决于相对位置，还取决于两者划水的相位差。最大的效应来自两个泳者同时在动的那一刻。

先抓重点

- **核心问题**: 两个一模一样的微小泳者，划水同步时互相靠拢，相差半个周期时却彼此推开，为什么？
- **一句话直觉**: 每次划水都会让旁边的泳者转一个很小的角度，这个角度取决于对方的方位和两者划水如何对齐。并排同步时，转向让两者彼此对准；把一方的划水推迟半个周期，转向就让它们彼此背离。

### 核心数学模型

#### 每个小球都感受其他所有小球的流动

$$
\mathbf{v}_i=\frac{\mathbf{f}_i}{6\pi\eta a}+\sum_{j\ne i}\frac{1}{8\pi\eta\,r_{ij}}\left(\mathbf{I}+\hat{\mathbf{r}}_{ij}\hat{\mathbf{r}}_{ij}\right)\cdot\mathbf{f}_j
$$

六个小球，每个都受自身的力推动，同时被另外五个球的 Oseen 流动带着走。每个泳者三个力之和为零，力矩之和也为零，所以泳者只能随对方的流动转动和平移。

#### 平行泳者每周期的转角

$$
\Delta\theta_{A}\propto\Phi(\varphi)\,\frac{aD\xi^{2}}{r^{4}}\,\sin\alpha\left(3-30\cos^{2}\alpha+35\cos^{4}\alpha\right)
$$

Pooley 等人给出了两条臂振幅都为 ξ、臂长 D、相距 r、方位角 α 的平行泳者的最低阶结果。相位因子 Φ 在同步和相差半周期时符号相反。角度因子在约 31° 和 70° 处为零；下方图表把它和完整模型并排比较。

### 常见难点

#### 不只是平均流动

**容易误解** 每个泳者只感受到对方平均留下的流动。

**正确理解** 把一个周期平均下来，这样的泳者只留下随距离三次方衰减的微弱流动。转向来自两个泳者同时在动的那一刻，所以只要把一方的划水在时间上错开，就能让转向反过来。

#### 这个模型没算什么

**容易误解** 真实的泳者也会像这样把划水节奏锁在一起。

**正确理解** 两个泳者在无边界水中的同一平面内运动。六个小球都按点力处理，用 Oseen 张量耦合；每个泳者对水的净力和净力矩都为零。不同泳者的小球靠近到几个半径以内时模型失效，运行就此停止。位置每个划水周期记录一次，累积几千个周期。这里没有热噪声；真实泳者的节奏会被热噪声打乱，而这里两者的划水始终严格对齐。

### 动手实验

1. 01

   #### 并排同步

   从“同步并排：越游越近”开始，盯住两个泳者的前端。

   **你会看到：** 两个前端彼此倾斜，最后约 19°，横向距离在约 2700 个周期内缩小，直到小球靠得太近、超出模型适用范围。

2. 02

   #### 把一方推迟半个周期

   选“反相并排：越游越远”，或把乙的划水领先设为 180°。

   **你会看到：** 同样的两个泳者、同样的位置，现在彼此转开约 4°，逐渐分离。场景中两者的臂相差半个周期运动。

3. 03

   #### 让乙在前

   选“同步一前一后：来回摆动”，或把乙拖到甲前方。

   **你会看到：** 乙在甲的游动线两侧来回摆动，周期约 9000 个划水周期，横向距离图是一条重复的波。

物理结论

两个泳者通过划水的重叠相互引导：并排同步时靠拢，相差半个周期时分开，一前一后时来回摆动。

## 相关实验与文章

低雷诺数游动 · 阅读路径

### 没有惯性怎样游，从 Purcell 的扇贝到成对泳者

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **两个泳者靠得近时，划水的时间差决定它们怎样互相推拉**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/microswimming/two-swimmers-keep-time/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)