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title: "应力—应变材料试验机互动实验｜Sandbox Physics"
description: "试样加载再卸载以后，里面会留下什么？看材料。弹性试样会回到原长，塑性试样留下永久伸长，黏弹性试样里可能还留着慢慢松弛的内应力。"
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last_modified: "2026-10-29"
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M027 · 固体力学

# 应力—应变材料试验机

**试样加载再卸载以后，里面会留下什么？** 看材料。弹性试样会回到原长，塑性试样留下永久伸长，黏弹性试样里可能还留着慢慢松弛的内应力。所以伸长回到零，不代表里面没有残余应力。

选一种试样：弹性、塑性、脆性或黏弹性。先拉伸并保持，再卸载、反向压缩，最后回到零应变。一路看它的内部状态和能量怎么变，再用测到的力和标距伸长求出加载斜率。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

试样均匀变形，服从小应变的教学本构模型。标距伸长由程序直接指定，应力始终按原始面积计算。不模拟颈缩、断后接触、机器柔度和压缩时的屈曲，也不为任何真实材料作认证。

物理教程

## 材料内部的历史

**背景** 加载架拉伸、压缩一根试样。Lab 把试样的几何形状和材料本构模型联系起来，力和标距伸长则另外测量、记录。

**为什么值得理解** 加载、卸载，再控制好几何形状，就能把几种不同的解释区分开。

先抓重点

- **核心问题**: 伸长回到零，材料里就没有应力了吗？
- **一句话直觉**: 装置画面、读数和能量记录，描述的都是同一个物理状态。

### 核心数学模型

#### 工程应变与工程应力

$$
\begin{aligned}\varepsilon&=\frac{\Delta L}{L_0}\\\sigma&=\frac{F}{A_0}\end{aligned}
$$

两者都用原始长度和面积。不计算真实应力，也不跟踪颈缩时变小的截面积。

#### 各向同性硬化的塑性

$$
\begin{aligned}\sigma&=E(\varepsilon-\varepsilon_p)\\|\sigma|&\leq\sigma_y+H\alpha\\d\alpha&=|d\varepsilon_p|\end{aligned}
$$

永久应变可正可负，看塑性流动朝哪个方向。累计塑性应变和屈服半径都只会增大。

#### 平衡弹簧并联一个 Maxwell 支路

$$
\begin{aligned}\sigma&=E_\infty\varepsilon+z\\\dot z+\frac{z}{\tau}&=(E_0-E_\infty)\dot\varepsilon\end{aligned}
$$

保持阶段，瞬态弹簧里的应力逐渐松弛。每个恒速段都精确更新，不会因为方程刚性、时间步取得粗而算出假象。

#### 功与能量平衡

$$
\begin{aligned}W&=V_0\int\sigma\,d\varepsilon\\W&=\Psi+D\end{aligned}
$$

外力做的功有正有负，它等于弹性储能和硬化储能，再加上不可逆耗散。脆断时释放的能量算作损失。

#### 由原始数据求加载斜率

$$
\begin{aligned}\frac{F_i}{A_0}&\simeq c+\widehat E\frac{\Delta L_i}{L_0}\\0&<\frac{\Delta L_i}{L_0}\leq3\times10^{-4}\end{aligned}
$$

拟合只用新试样第一次拉伸段的数据和原始几何。黏弹性试样的斜率随加载速率变化。

### 常见难点

#### 模型在哪里失效

**容易误解** 画出来的曲线很平滑，物理上就一定对。

**正确理解** 要看这个状态是否落在模型成立的范围内，还要看采集到的记录。这些教学模型不能为真实试样作担保。

### 动手实验

1. 01

   #### 屈服后卸载

   选“屈服与卸载”，拖动进度滑块走完整个程序。

   **你会看到：** 材料里留有永久应变，所以总应变回到零时，仍可能需要一个不为零的应力。

2. 02

   #### 保持伸长不变

   选“黏弹性保持”，改变保持时长和加载速率。

   **你会看到：** 伸长不变时应力会松弛，但平衡弹簧仍留着一部分拉力。

3. 03

   #### 看断裂时释放的能量

   选“脆性断裂”，看断裂阈值前后的能量曲线。

   **你会看到：** 应力一旦截断就回不去。释放出的储能计入损失，并没有凭空消失。

4. 04

   #### 求出加载斜率

   采集完整程序，查看原始数据通道，导出 CSV，再改变扰动大小。

   **你会看到：** 对新试样的拟合只用原始的力和伸长。黏弹性试样的表观斜率随加载速率变化。

物理结论

一个模型解、它成立的范围、从原始数据得到的估计，回答的是三个不同的问题。

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