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title: "稳定作用量实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "真实路径一定具有最小作用量吗？不一定。真实路径让作用量取驻值：路径稍微变一点，作用量在一阶上不变。时间短时，这个驻值是极小值；时间够长、越过共轭点之后，它可能变成鞍点。拿弹簧振子来说，运动时间超过半个周期就是这样。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M081 · 固定端点的作用量

# 稳定作用量实验室

**真实路径一定具有最小作用量吗？** 不一定。真实路径让作用量取驻值：路径稍微变一点，作用量在一阶上不变。时间短时，这个驻值是极小值；时间够长、越过共轭点之后，它可能变成鞍点。拿弹簧振子来说，运动时间超过半个周期就是这样。

端点固定，拖动一条候选路径。在自由运动、均匀重力和谐振动中，比较作用量、一阶变分和运动方程的残差。再从极小走到鞍点，检验共轭时刻端点相容和不可能两种情形。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

一个粒子做自由运动，或处在均匀重力势、精确谐振子势中。所有路径端点相同且固定，彼此只差六个可编辑的正弦模态。只有端点相容时才有解析参考；在共轭时刻，它只是一族不唯一的解中的一条。投影到六个模态上的梯度和连续的牛顿残差，是两项独立的检查。

物理教程

## 一阶变分与曲率回答不同问题

**背景** 在给定时间内，连接同样起点和终点的路径有很多条，只有真实路径还满足运动方程。

**为什么值得理解** 稳定作用量原理加上二阶变分，可以解释为什么真实路径可能落在作用量的鞍点上。

先抓重点

- **核心问题**: 真实路径一定具有最小作用量吗？
- **一句话直觉**: 一阶变分为零，挑出的是真实运动；二阶变分再判断它是极小、有平坦方向，还是鞍点。

### 核心数学模型

#### 端点固定的作用量

$$
S[q]=\int_0^T\left(\frac{m\dot q^2}{2}-V(q)\right)dt,\qquad q(0)=q_0,\ q(T)=q_T
$$

作用量是拉格朗日量对时间的积分，不是总能量的积分。中间的路径怎么改，端点都不动。

#### 作用量驻定给出牛顿运动

$$
\delta S=-\int_0^T\left(m\ddot q+V^{\prime}(q)\right)\eta(t)dt,\qquad\eta(0)=\eta(T)=0
$$

真实路径上，力残差为零。六个模态上的梯度只检验能编辑的那几个方向；图上画的残差检验的是连续的运动方程。

#### 可编辑路径保持端点

$$
q(t)=q_b(t)+\sum_{n=1}^{6}a_n\sin\frac{n\pi t}{T}
$$

端点相容时，基线就是解析的真实路径。谐振子端点无法相容时，基线改用两端之间的直线，并明确标出没有物理解。

#### 曲率决定极小或鞍点

$$
\Delta S=\frac m4\sum_{n=1}^{6}a_n^2\left(\frac{n^2\pi^2}{T}-\omega^2T\right)
$$

在相容的谐振参考路径附近，一阶变分为零。半波长太长的模态会降低作用量，更高阶的模态仍让它升高。自由运动和均匀重力下，频率项为零。

#### 共轭时刻要求端点相容

$$
\omega T=k\pi\quad\Longrightarrow\quad q_T=(-1)^kq_0
$$

这个条件严格成立时，一对端点可能有无穷多条真实路径，也可能一条都没有。平坦模态选不出唯一的路径。时段控件以谐振半周期为基本尺度。

#### 独立检验数值积分

$$
\epsilon_Q=\left|S_{\rm Simpson}-S_{\rm closed}\right|
$$

显示的作用量来自闭式二次表达式。另用 512 个区间的复合 Simpson 求积独立检验路径积分；两者的差不是完整的误差界。

### 常见难点

#### 驻定不总是极小

**容易误解** 真实路径的作用量，一定比附近每条路径都小。

**正确理解** 时段一超过谐振半周期，就会出现负曲率方向，驻定路径成了鞍点。

#### 平坦不代表唯一

**容易误解** 斜率和曲率都是零，就选出了唯一的运动。

**正确理解** 共轭时刻端点相容时，沿平坦方向有一整族真实路径。

#### 不可能的端点就是无解

**容易误解** 任意两个端点位置，都能用谐振路径连起来。

**正确理解** 共轭时刻端点不相容就没有解；那条直线基线只是可以编辑的候选路径。

#### 六个模态只检验六个方向

**容易误解** 六个小导数，就证明了所有方向上都驻定。

**正确理解** 有限基只检验六个方向；还要另外看连续方程的残差和解析参考。

### 动手实验

1. 01

   #### 回到极小

   选择“短时段极小”，再点“恢复参考”。

   **你会看到：** 斜率和力残差都趋于零；沿第一模态扰动路径，作用量会升高。

2. 02

   #### 寻找鞍点

   选择“驻定鞍点”，比较第一和第三模态。

   **你会看到：** 绕着同一条驻定路径，一个模态让作用量降低，另一个让它升高。

3. 03

   #### 检验共轭时刻的端点

   比较“共轭时刻路径族”和“不可能端点”两个预设。

   **你会看到：** 沿平坦方向的一族真实路径，和根本没有经典解的端点，是两种不同的情形。

4. 04

   #### 编辑路径并检查

   拖动橙色控制点，比较梯度、残差和求积差异。

   **你会看到：** 端点始终不动，精确作用量和独立求积的结果相互吻合。

物理结论

下结论之前，先把数值检查和解析或细化的参考结果对照一下。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)