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title: "叠放物块与摩擦约束互动实验｜Sandbox Physics"
description: "叠放的两块物块，推其中一块时，哪个接触面先滑？先算每个接触面不滑所需的摩擦，再与静摩擦上限比较。"
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last_modified: "2026-11-05"
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M015 · 两处接触，哪一处先滑？

# 叠放物块与摩擦约束

**叠放的两块物块，推其中一块时，哪个接触面先滑？** 先算每个接触面不滑所需的摩擦，再与静摩擦上限比较。推哪一块会改变这个需求；层间摩擦也能把另一块带着加速。

推上层或下层，看哪个接触面先滑。可以单看一块，也可以把两块当成整体：取整体时，两块之间的摩擦力互相抵消；推力做的功，等于增加的动能加上摩擦生的热。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

物块从静止开始，沿导轨滑动。任何一块快要伸出边缘时模拟就停下，不考虑翻倒和掉落。

物理教程

## 两个接触面，分别检验

**背景** 上层可能沿下层滑动，下层也可能沿地面滑动；两个接触面各有自己的摩擦上限。

**为什么值得理解** 把上层带着走的正是摩擦力。换一块施力，两处接触面需要提供的力也会改变。

先抓重点

- **核心问题**: 逐渐增大释放时的推力，哪处接触会最先滑？
- **一句话直觉**: 先假设接触面不滑，算出需要的静摩擦，再与上限比较。若发生滑动，就改用动摩擦，还要检查算出的相对运动方向是否符合假设。

### 核心数学模型

#### 分别给两块列方程

$$
\begin{aligned}m_1a_1&=F_1+f_{21},\\ m_2a_2&=F_2-f_{21}+f_0.\end{aligned}
$$

层间摩擦在两个物块上符号相反。外加推力一次只作用在一块上。

#### 两处独立的静摩擦上限

$$
\begin{aligned}|f_{21}|&\leq\mu_{s,1}m_1g,\\ |f_0|&\leq\mu_{s,0}(m_1+m_2)g.\end{aligned}
$$

接触面不滑时才使用相应不等式；滑动的接触面要改用动摩擦系数。

#### 刚离开全静止状态的门槛

$$
\begin{aligned}C_1&=\mu_{s,1}m_1g,\\ C_0&=\mu_{s,0}(m_1+m_2)g,\\ F_{\mathrm{crit,upper}}&=\min(C_1,C_0),\\ F_{\mathrm{crit,lower}}&=C_0.\end{aligned}
$$

这里逐次比较从静止释放的结果，推力大小依次增加。跨过门槛后，哪些接触滑动、该取多大动摩擦，还需要重新求解。

#### 相对滑动才产生摩擦热

$$
\begin{aligned}E_{\mathrm{diss}}={}&|f_{21}|\,|\Delta x_1-\Delta x_2|\\ &+|f_0|\,|\Delta x_2|.\end{aligned}
$$

每段展示的运动都保持单向。接触面粘住时，相对位移为零，这里不生摩擦热；两块之间仍可以通过摩擦力传递能量。

### 常见难点

#### 一起走，也需要摩擦

**容易误解** 两块没有相对滑动，层间摩擦就应该为零。

**正确理解** 没被直接推的那一块仍需要水平力才能加速。静摩擦提供这个力，两侧接触点一起移动，能量随之传递，而这个接触面没有摩擦生热。

### 动手实验

1. 01

   #### 看摩擦把上层带走

   先看“摩擦带动上层”，分别选择上层、下层和整体。

   **你会看到：** 层间摩擦带着上层加速，在下层上方向相反。合成整体后，这对内部力抵消。

2. 02

   #### 换一块推

   切到“推上层”，拖动这块改变施力，再调整两处摩擦系数。

   **你会看到：** 可以出现上层滑而下层不动，也可以两处都滑。接触条分别显示实际摩擦与静摩擦上限。

3. 03

   #### 逐项看假设为什么不成立

   展开“接触检验、功与能量”，再展开“逐项检验接触假设”。

   **你会看到：** 九个带方向的候选都保留了所需力。假设可能因为静摩擦超过上限而失败，也可能算出了与假设相反的滑动方向。

物理结论

两处接触和滑动方向都要检验。静摩擦可以在物块间传递能量，接触点不发生相对滑动时，这里就不生摩擦热。

物理模型、近似边界与来源

位置用米、时间用秒、力用牛顿。向右、向上为正，斜面位移以上坡为正。理想导轨阻止转动，模型只计算平动，不计算接触压强分布或翻倒。

每次改参数都定义一次从静止开始的新释放。静摩擦不超过上限时，接触可以不滑；比较力时采用十亿分之一牛顿的数值容差，等号处优先保持粘住。动摩擦系数由对应静摩擦系数乘所选比值得到。

四类接触假设展开为九个带方向的候选。静摩擦候选保留维持该假设所需的力，滑动候选还须满足假设的方向；采用的响应遵循上述优先粘住的规则。扫描曲线的每个力值都是单独释放，不代表连续加载的运动历史。

两块宽度分别为 0.8 米和 2.4 米。叠块记录在相对位移 0.8 米、下层行程 2.4 米或两秒时结束，不延伸到部分支撑、越过边缘或碰撞。卷扬机在改变绳长时保持非负张力，缆绳记录的行程为一米。

装置长度共用比例。力矢量平移到所选系统中心，同次释放及切换系统边界时共用固定显示增益，上限为每牛顿 0.03 米；独立受力图使用自己的共同绘图比例。CSV 保存 101 个模型采样，保留残差中的浮点误差。这些是模拟数值，不是实测数据或拟合的材料参数。

- [OpenStax 5.7 — Free-body diagrams](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/5-7-drawing-free-body-diagrams)
- [OpenStax 5.5 — Newton’s third law](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/5-5-newtons-third-law)
- [OpenStax 6.2 — Static and kinetic friction](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/6-2-friction)
- [OpenStax 15.1 — Spring force and simple harmonic motion](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/15-1-simple-harmonic-motion)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)