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title: "稳定腔与横模互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两面镜子的曲率和间距怎样选，光腔才稳定，并以基横模为主？两面镜子的 g 参数相乘，结果在零和一之间，腔就是稳定的；每个 g 等于一减去腔长与该镜曲率半径之比。"
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last_modified: "2026-10-28"
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光学 104 · 光腔设计

# 稳定腔与横模

**两面镜子的曲率和间距怎样选，光腔才稳定，并以基横模为主？** 两面镜子的 g 参数相乘，结果在零和一之间，腔就是稳定的；每个 g 等于一减去腔长与该镜曲率半径之比。在这个范围内，Gaussian 光束来回反射多少趟都不会散出腔外。再加一个大小合适的光阑，更宽的高阶横模损耗更大，留下的就是基横模。

先选好两面镜子的曲率和间距，让 Gaussian 模装得下，再把光阑开到只剩基横模。在相机上看高阶横模逐渐消失。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

两面球面镜在空气中相对放置，凹面曲率半径取正，光束按标量近轴处理。g 等于一减去腔长与镜面曲率半径之比；两面镜子的 g 相乘严格落在零和一之间时，腔里才有 Gaussian 模。镜面上的模式半径、束腰大小和位置按 Kogelnik 与 Li（1966）计算；半径指强度降到峰值的 e 平方分之一处。乘积离零或一不到万分之一时算作稳定边界，镜子已经定不下唯一的模式尺寸，这时不画模式。稳定区之外，用同一组镜面矩阵追迹一条离轴光线，直到它离开镜面。输出镜绕顶点倾斜时，它的曲率中心跟着移动；新的光轴连接两个曲率中心，所以在后镜上平移腔长乘倾角、再除以一减乘积，在光阑处再乘以后镜的 g。模式绕新光轴保持原来的形状。光阑紧贴输出镜，每次往返对每个模式削一次。记录跟踪十五个阶数不超过四的横模：圆光阑用 Laguerre–Gaussian 花瓣模，方形光阑用 Hermite–Gaussian 模，起始种子功率都相同。每个模式的损耗取未变形模式落在光阑外的功率；这是估算，没有 Fox–Li 截断腔计算会给出的衍射重塑，也把每个模式单独处理。在饱和以下，所有模式的增益相同，在占比里相互抵消，所以每次往返只是把各模式的功率乘以它自己的光阑透过率。模型不含增益饱和、空间烧孔、增益分布、热透镜、像散和输出耦合。相机拍的是输出镜所在平面；不同阶的模式频率不同，强度直接相加。旁边的理想基横模是同一对镜子对准、无光阑时的模式，不属于记录。光束宽度和光轴位移相对长度放大 32 倍，倾角放大 1000 倍；画出的光束半径是记录到的横模混合的二阶矩半径。

物理教程

## 设计一个让相机只看到一个干净光斑的光腔

**背景** 光在两面弯曲的镜子之间来回反射，要么稳定成形状固定的光束，要么慢慢走出镜面。决定是哪一种的是镜子本身；光阑再决定有几种光束形状能一直留下来。

**为什么值得理解** 记录从十五个功率相同的横模出发，跟踪它们走过很多次往返。输出镜后面的相机上，混合光斑要么收缩成一个圆斑，要么一直是一团模糊。

先抓重点

- **核心问题**: 什么样的镜面曲率、间距和光阑能只留下基横模？为什么有的腔对倾斜特别敏感？
- **一句话直觉**: 两面镜子的 g 相乘，决定 Gaussian 模能不能装进腔里，以及它在每面镜子上有多大。高阶横模都比基横模宽，所以比基横模稍大一点的光阑，削高阶模要狠得多。每次往返都重复这点损耗差，基横模就逐渐占满。在平面端和共心端，乘积接近一，两面镜子上的模式都变大，倾斜造成的光轴平移也与一除以一减乘积成正比。

### 核心数学模型

#### 什么时候装得下 Gaussian 模

$$
0<g_1g_2<1,\qquad g_i=1-\frac{L}{R_i}
$$

L 是镜间距，R\_i 是第 i 面镜子的曲率半径，凹面取正。超出这个范围，贴着光轴的光线会走出镜面。

#### 每面镜子上的模式半径

$$
\begin{gathered}w_1^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_2}{g_1(1-g_1g_2)}}\\ w_2^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_1}{g_2(1-g_1g_2)}}\end{gathered}
$$

lambda 是波长。乘积趋近一时，也就是稳定区的平面端和共心端，两个半径都会无限变大。

#### 腔内的束腰

$$
w_0^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_1g_2(1-g_1g_2)}{(g_1+g_2-2g_1g_2)^2}}
$$

接近共心时，束腰缩成一个极小的焦点，镜面上的光斑却在变大。

#### 倾斜对光轴的影响

$$
\Delta x_1=\frac{L\,\theta_2}{1-g_1g_2},\qquad \Delta x_2=g_1\,\Delta x_1
$$

输出镜倾斜 theta\_2，它的曲率中心随之移动，光轴总是连接两个曲率中心。Delta x\_1 是后镜上的平移，Delta x\_2 是光阑处的平移。

#### 两个最低阶模的截断损耗

$$
\begin{gathered}\ell_{00}=e^{-2a^2/w_2^2}\\ \ell_{01}=\left(1+\frac{2a^2}{w_2^2}\right)e^{-2a^2/w_2^2}\end{gathered}
$$

圆光阑半径为 a、中心对准模式时，这是每次往返中未变形模式落在光阑外的功率。

#### k 次往返后的占比

$$
s_i(k)=\frac{(1-\ell_i)^k}{\sum_j(1-\ell_j)^k}
$$

种子相同、各模式增益也相同时，每次往返只是把每个模式乘上它自己的透过率。损耗差百分之三，一百次往返后占比就缩小约二十倍。

#### 各横模在频率上的位置

$$
\frac{\nu}{c/2L}=q+1+\frac{N+1}{\pi}\arccos\left(\pm\sqrt{g_1g_2}\right)
$$

q 数的是沿光轴的半波长个数，N 是横模阶数，正负号跟 g 的符号一致。不同阶的模式频率不同，所以相机上是它们的强度相加。

### 常见难点

#### 稳定不等于低损耗

**容易误解** 只要稳定性乘积在零和一之间，光腔的损耗就低。

**正确理解** 稳定只说明 Gaussian 模装得下。损耗取决于镜子和光阑与模式尺寸相比有多大，而模式在稳定区两端都会变大。

#### 光阑不是越小越好

**容易误解** 光阑收得越小，基横模越干净。

**正确理解** 光阑小到约一个光斑半径以下，连基横模也会被削，激光要多得多的增益才能运转。最好的光阑几乎不碰基横模，只削更宽的模式。

#### 平面镜不是省事的选择

**容易误解** 两面平面镜或近平面镜组成的腔最简单，也最宽容。

**正确理解** 在平面端附近，模式很大，一点点倾斜造成的光轴平移比曲面镜腔大好几倍，对准就变得很关键。

### 动手实验

1. 01

   #### 看基横模胜出

   保持默认预设“光阑匹配：基横模胜出”，看完一次回放。

   **你会看到：** 相机一开始是十五个横模叠成的一大团模糊。几十次往返之内，它收缩成一个圆斑，腔内的光束也跟着变细。

2. 02

   #### 把光阑开大

   加载“光阑全开：横模全都留下”。

   **你会看到：** 没有哪个模式有可测的损耗，十五个模式一直平分功率，相机画面始终不清晰。

3. 03

   #### 把光阑收得太小

   加载“光阑太小：基横模也被削”。

   **你会看到：** 基横模几次往返就胜出，但它每次要损失将近五分之一的功率，这些得靠增益补回来。

4. 04

   #### 让近平面腔倾斜

   加载“近平面镜：一点倾斜就让模式走偏”，再把倾角滑块拖回零。

   **你会看到：** 六十微弧度就让光轴移动约半个光斑半径，基横模损耗从不到百分之一升到百分之三。同样的倾斜，默认的腔几乎没有反应。

5. 05

   #### 走出稳定区

   从默认状态出发，把输出镜曲率半径拖到 30 cm 的腔长以下。

   **你会看到：** 两个 g 变成一正一负，乘积小于零。光束消失了，一条离轴光线反射几次就走出镜面。

物理结论

先把镜子选在稳定区的中间，再把光阑开到光斑半径的 1.6 倍左右：基横模每次往返损失不到百分之一，下一个横模却要损失约百分之四。

## 相关实验与文章

继续探索

### 把光束限制在腔内，选出模式

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1. [当前页面 **稳定腔与横模** 选好两面镜子的曲率和间距，再调光阑，直到相机上只剩基横模。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stable-resonator-transverse-modes/)
2. [实验 **稳定谐振腔几何** 改变两面镜子，检查有界光线与光阑损耗。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stable-resonator-geometry/)
3. [实验 **激光横模** 让泵浦重叠与饱和共同选择竞争的模式。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transverse-laser-modes/)

探针与测量 · 阅读路径

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这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **氨分子束怎样持续发出微波**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/probe-evidence/maser-inversion-and-feedback/)
2. [实验 **三种跃迁与受激辐射** 看探测光在受激气体里先变强、再变弱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/absorption-spontaneous-stimulated-emission/)
3. [实验 **泵浦与粒子数反转** 一盏灯泵浦三种气体，看哪一种能放大光](https://sandboxphysics.com/zh/labs/pumping-population-inversion/)
4. [实验 **被动光学谐振腔** 比较被动储光与持续振荡](https://sandboxphysics.com/zh/labs/passive-optical-resonator/)
5. [实验 **搭出并修好第一台激光** 比较增益与腔损耗](https://sandboxphysics.com/zh/labs/build-debug-laser/)
6. [实验 **激光噪声启动工作台** 从第一个种子观察腔模增长](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-noise-startup/)
7. [实验 **激光怎样从噪声启动** 看许多腔频率争同一份增益](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-startup-from-noise/)

波与光学 · 入门路径

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从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)