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title: "稳定谐振腔几何互动实验｜Sandbox Physics"
description: "腔稳定了，光束就一定能通过光阑吗？不一定，稳定和通过光阑是两回事。"
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last_modified: "2026-10-28"
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L10 · 模式与腔设计

# 稳定谐振腔几何

**腔稳定了，光束就一定能通过光阑吗？** 不一定，稳定和通过光阑是两回事。镜面曲率和腔长落在稳定区内，偏轴光线就会一直在轴附近来回。可就算腔稳定，Gaussian 模式也可能比光阑宽，光阑处的光斑大小得另外算。共焦腔这类正好卡在稳定边界上的情形，要格外小心。

改变两面镜的曲率和镜间距，看稳定图怎样对应 ABCD 光线追迹、Gaussian 束腰，以及光束两次经过光阑时的截断；再看看共焦、平行平面、半球和同心这几种边界情形。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用空气中对准的球面镜和标量近轴光学，凹面曲率半径取正。轴向位置从后镜算起；横向向上为正，光线斜率沿当地传播方向定义。Gaussian 半径指强度降到峰值的 e 平方分之一处的半径。稳定区内部，往返矩阵只有一个虚部为正的固定点。精确共焦几何有一整族解；显示的居中对称 Gaussian 是选出的一个成员，不是唯一解。其他边界点不指定有限模式。光阑损耗每往返积分两次未变形的 Gaussian，不含衍射重塑、有限镜面口径、增益导引、热透镜、倾斜和像散。光线碰到实际光阑，或超出近轴范围时停止。镜面弧度和横向尺寸是示意，但光线和 Gaussian 包络用的是同一个横向放大率。

激光基础 · 光、增益与反馈

[L01 · 比较光源](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-source-comparison/) [L02 · 计数跃迁](https://sandboxphysics.com/zh/labs/light-matter-transitions/) [L03 · 构建反转](https://sandboxphysics.com/zh/labs/population-inversion/) [L04 · 单程放大](https://sandboxphysics.com/zh/labs/single-pass-amplifier/) [L05 · 加入反馈](https://sandboxphysics.com/zh/labs/passive-optical-resonator/) [L06 · 从噪声启动](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-noise-startup/) [L07 · 搭建与排故](https://sandboxphysics.com/zh/labs/build-debug-laser/) [L08 · 测量与诊断](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-diagnostic-bench/) [L09 · 选择纵模](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gain-longitudinal-modes/) [L10 · 约束光束](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stable-resonator-geometry/) [L11 · 选择空间模式](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transverse-laser-modes/) [L12 · 传播与测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gaussian-beam-quality/) [L13 · 对准与匹配](https://sandboxphysics.com/zh/labs/alignment-mode-matching/) [L14 · 优化提取](https://sandboxphysics.com/zh/labs/output-coupler-optimization/) [L15 · 驱动动力学](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-dynamics-relaxation/) [L16 · 储存与释放](https://sandboxphysics.com/zh/labs/q-switched-giant-pulse/) [L17 · 锁相成脉冲](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mode-locking-frequency-comb/) [L18 · 标定频率梳](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-frequency-comb/) [L19 · 注入载流子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/semiconductor-laser-diode/) [L20 · 比较增益介质](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-medium-zoo/) [L21 · 分布式增益](https://sandboxphysics.com/zh/labs/fiber-fbg-laser/) [L22 · 选择反馈](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-feedback-architectures/) [L23 · 平衡超快脉冲](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ti-sapphire-oscillator/) [L24 · 展宽与压缩](https://sandboxphysics.com/zh/labs/chirped-pulse-amplification/) [L25 · 捕获与提取](https://sandboxphysics.com/zh/labs/regenerative-multipass-amplifier/) [L26 · 转换频率](https://sandboxphysics.com/zh/labs/nonlinear-frequency-conversion/) [L27 · 散射与级联](https://sandboxphysics.com/zh/labs/raman-brillouin-lasers/) [L28 · 同步从激光](https://sandboxphysics.com/zh/labs/injection-locking/) [L29 · 锁定到参考腔](https://sandboxphysics.com/zh/labs/pdh-frequency-lock/) [L30 · 测量相位噪声](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-linewidth-phase-noise/) [L31 · 散射形成反馈](https://sandboxphysics.com/zh/labs/random-laser/) [L32 · 诊断热扩展](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thermal-lensing/) [L33 · 合并相干光场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-beam-combining/) [L34 · 维持 Kerr 脉冲](https://sandboxphysics.com/zh/labs/microresonator-kerr-comb/) [L35 · 返回延迟光场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/external-feedback-chaos/) [L36 · 扫描而不跳模](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tunable-laser-scan/)

物理依据： [MIT：相干与光谱](https://ocw.mit.edu/courses/res-6-006-video-demonstrations-in-lasers-and-optics-spring-2008/resources/coherence-length-and-source-spectrum/) · [速率方程](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter2/) · [泵浦与增益介质（7.2 节）](https://ocw.mit.edu/courses/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/bf3bdeb971819ddc9c68719d28bb2745_classnotes.pdf) · [激光动力学](https://ocw.mit.edu/courses/6-977-ultrafast-optics-spring-2005/resources/chapter4/)

物理教程

## 谐振腔必须重现自己的横向场

**背景** 沿轴的共振决定频率，镜面曲率决定光束在横向能不能被约束住。腔的 Gaussian 模式每往返一次，复光束参数都回到原值。

**为什么值得理解** 只看稳定性乘积，看不出稳定区边界上发生了什么。追迹光线、求 Gaussian 模式、估算光阑损耗，各自能看到别的方法看不到的东西。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么几何稳定腔仍会严重截断？为什么精确周期腔可以没有唯一 Gaussian 模式？
- **一句话直觉**: 稳定区内部，特征值的模为一，光线始终有界。特征值重合时，要看整个矩阵：共焦腔的映射是负单位矩阵，光线会回到原处；Jordan 型映射则让位移越积越大。

### 核心数学模型

#### 传播与反射

$$
\begin{aligned}P(L)&=\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}\\M_i&=\begin{pmatrix}1&0\\-2/\mathcal R_i&1\end{pmatrix}\end{aligned}
$$

光线向量包含离轴高度和当地的正向斜率。平面镜没有聚焦能力。每次往返从后镜反射之后开始算。

#### 往返稳定性

$$
\begin{aligned}M&=M_1P M_2P\\g_i&=1-L/\mathcal R_i\\\operatorname{tr}M&=4g_1g_2-2\\\det M&=1\end{aligned}
$$

乘积严格在零和一之间，腔才在稳定区内部。乘积落在边界值时，要单独分析矩阵，不能简单标成稳定或不稳定。

#### Gaussian 模式是固定点

$$
\begin{aligned}q&=\frac{Aq+B}{Cq+D}\\q(z)&=z-z_0+iz_R\\w^2(z)&=w_0^2\left[1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2\right]\\w_0^2&=\frac{\lambda z_R}{\pi}\end{aligned}
$$

取虚部为正的解。实部给出束腰位置，虚部给出 Rayleigh 长度；光束半径和场景里所有光束轮廓都来自这同一个解。

#### 对称腔的检验

$$
\begin{aligned}z_0&=L/2\\z_R&=\frac12\sqrt{L(2\mathcal R-L)}\\w_0^2&=\frac{\lambda z_R}{\pi}\end{aligned}
$$

这个闭式结果独立检验矩阵解。在共焦点，所选对称模式的 Rayleigh 长度等于半个腔长。

#### 共焦退化

$$
\begin{aligned}\mathcal R_1&=\mathcal R_2=L\\M&=-\mathbb I\\M^2&=\mathbb I\end{aligned}
$$

在理想近轴映射里，每条光线往返两次后回到原处。固定点方程本身选不出唯一的光束，所以这里明确选了对称的那一个来显示。

#### 两次通过光阑的损耗估计

$$
\begin{aligned}u_a&=\frac{2a^2}{w^2(z_a)}\\Q_a&=(1-e^{-u_a})^2\\\ell_a&=1-Q_a\end{aligned}
$$

光束每往返一次，穿过圆形光阑两次。这个估计积分的是未受扰动的 Gaussian 强度；截断严重时，模式本身会变，需要做衍射传播计算。

### 常见难点

#### 边界处单位特征值还不够

**容易误解** 特征值的模为一，光束就一定被稳稳地约束住了。

**正确理解** 边界上不可对角化的映射，可能让位移按多项式增长。精确共焦的映射可以对角化，但它是退化的，对不对称的扰动很敏感。

#### 光线与 Gaussian 是不同检验

**容易误解** 一条光线存活就证明整个模式能通过。

**正确理解** 一条光线能穿过光阑，同一个光阑却可能挡掉 Gaussian 光束相当一部分功率。积分损耗和光线状态回答的是不同问题。

#### 光阑损耗不是场解

**容易误解** 截断后的腔仍保持完全相同的 Gaussian 本征模。

**正确理解** 读数积分的是未变形的 Gaussian 参考。损耗一大，衍射会改变模式形状，这个假设就不成立了。

### 动手实验

1. 01

   #### 把矩阵和光线轨迹联系起来

   在“稳定对称腔”中追迹 32 次单程。只改初始高度或角度，再追迹一次。

   **你会看到：** Gaussian 模式不变；测试光线换了一条有界轨道，除非被光阑挡住。

2. 02

   #### 检验精确共焦

   选择“精确共焦腔”，步进四次；再只把一面镜的曲率半径改一厘米，加或减都试试。

   **你会看到：** 精确共焦时光线重复。只改一面镜，腔落到边界上，映射成为 Jordan 型，偏差越积越大；两面镜都继续改，腔可能进入不稳定的楔形区域。

3. 03

   #### 看看边界上的腔

   比较“平行平面边界”“半球边界”和“同心边界”，都用同一个非零初始角度追迹。

   **你会看到：** 重复特征值的模可以为一，偏差却照样积累。这些边界情形不是共焦腔，不给它们指定有限的 Gaussian 模式。

4. 04

   #### 区分稳定与截断

   比较“接近同心”和“稳定但截断”两个预设。沿腔移动光阑，再增大波长。

   **你会看到：** 靠近边界时，Gaussian 光斑可能很大。改变光阑或波长，截断会变，几何稳定性乘积不变。

物理结论

选稳定区内部的几何，束腰要合适，光阑处要留够余量。共焦腔家族是特例；Gaussian 截断估计代替不了衍射计算。

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1. [实验 **稳定腔与横模** 选好两面镜子的曲率和间距，再调光阑，直到相机上只剩基横模。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stable-resonator-transverse-modes/)
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3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
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5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)