---
title: "弹簧定律标定台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一个刚度能描述弹簧的整个加载行程吗？要看位移区间，也要看加载历史。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/spring-law-calibration/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/spring-law-calibration/"
last_modified: "2026-11-04"
---

M017 · 力、位移与记忆

# 弹簧定律标定台

**一个刚度能描述弹簧的整个加载行程吗？** 要看位移区间，也要看加载历史。局部近似直线时，斜率才适合用一个刚度概括；移动拟合区间，就能发现刚度变化。保守的非线性弹簧沿原路返回，摩擦滑块才产生有耗散面积的回线。预伸长会偏移力，反向后的弹性段还会暂时改变拟合斜率。

对四种弹簧做加载与卸载，在所选区间拟合力与位移。分清预伸长、非线性刚度与摩擦回线，看看一个刚度能用到哪里。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

执行器规定缓慢的正弦往复行程，忽略惯性。理想双向测力计读出弹性核心与并联 Jenkins 元件的合力；后者由每米一百牛顿的弹簧和理想库仑滑块串联而成。正式记录前先做两圈预循环。预伸长只作用于弹性核心，滑块保留自己的历史。线性、分段线性、三次硬化及反双曲正弦软化定律用于教学，并非画面中金属线圈的材料标定；过渡长度为六十毫米。编码器位移与时间精确，只有力叠加独立高斯噪声。直线只拟合选中分支和区间，截距同时受预加载、滑块记忆和曲率影响。拟合标准误不含仪器标定与模型误差。外力做功等于储能变化加摩擦耗散，不计算温度、蠕变、屈曲、断裂或真实弹簧丝几何。

物理教程

## 一根弹簧，能用几个刚度描述？

**背景** 多拉一段，力不一定等量增加。若送回去时力沿另一条路径变化，还说明装置记住了加载历史；仅有曲率并不说明存在耗散。

**为什么值得理解** NIST 的测力标定把施加的力、传感器读数和拟合误差分开处理。这里把传感器理想化，先问一段数据能支持什么结论，再决定是否把斜率当作刚度。

先抓重点

- **核心问题**: 拟合斜率什么时候代表弹簧刚度，什么时候又混入了曲率与加载历史？
- **一句话直觉**: 把加载、卸载并排看，再移动拟合窗口。直线段可以在返回时换一个截距；弯曲的保守弹簧也可以把能量全部还回来。

### 核心数学模型

#### 分清预伸长与本次行程

$$
F=F_e(x_p+x)+F_h,\qquad x=\frac A2\left(1-\cos\frac{2\pi t}{T}\right)
$$

传感器读的是带正负号的保持力。正式加载前，弹性核心已经预拉伸；滑块记忆也会影响起点读数。

#### 线性、硬化与软化核心

$$
F_e(u)=ku,\qquad ku\left[1+(u/\ell)^2\right],\qquad k\ell\operatorname{asinh}(u/\ell)
$$

这是三条独立的教学定律，过渡长度为六十毫米。硬化时切线刚度增大；反双曲正弦软化时刚度减小，但力仍继续增加。

#### 换成另一段刚度

$$
F_e(u)=ku+2k\,\operatorname{sgn}(u)\max(0,|u|-\ell)
$$

分段核心越过转折点后，刚度变为小伸长刚度的三倍。折点本身没有唯一切线。

#### 弹簧与滑块记住反向

$$
F_h=k_hz,\quad |F_h|\le Y,\quad dQ=Y\,|ds|,\quad W=\Delta U+Q
$$

Jenkins 支路在反向后先做弹性响应，达到阈值才滑动。预循环后的完整回线只有在滑块移动时才耗散。

#### 只拟合选中的观测

$$
\widehat F=a+bx,\qquad r_i=F_i-a-bx_i
$$

截距和斜率只来自一个分支、一个区间内的带噪观测。残差若留下弯曲趋势，就说明一条直线还不够。

### 常见难点

#### 弯曲不等于滞后

**容易误解** 弹簧越拉越硬，就一定更耗能。

**正确理解** 关掉滑块，比较硬化和软化。来回两条力曲线重合，闭合一圈的净功仍为零。

#### 截距未必是预加载力

**容易误解** 拟合截距直接告诉我起点的力。

**正确理解** 非线性区间的直线会外推到未测区域；滑块记忆又会平移分支。先说明拟合窗口，再比较加载与卸载。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看完整一圈

   选“摩擦回线”，跟着金色滑块完成一次拉开与返回。

   **你会看到：** 两条测力分支分开；滑块回到起点后，累计耗散仍为正。

2. 02

   #### 寻找可用的胡克区间

   选“越拉越硬”，在“记录与模型细节”中移动拟合起点和终点。

   **你会看到：** 换一个位置，拟合刚度也会变；残差帮助判断局部直线是否够用。

3. 03

   #### 分清预加载与记忆

   对比“先预拉，再加载”和“摩擦回线”，然后拟合卸载分支。

   **你会看到：** 预伸长改变弹性力的偏置；摩擦记忆还会带来反向后的弹性段和回线面积。

物理结论

每次拟合都属于一个明确的分支和位移区间。回线中的耗散才体现滞后，非线性本身并不够。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)