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title: "弹簧发射器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "松开弹簧，球就一定会飞起来吗？不一定，得压得够深。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M048 · 让储存的能量起飞

# 弹簧发射器

**松开弹簧，球就一定会飞起来吗？** 不一定，得压得够深。弹簧推的过程中球已经在升高，飞行还没开始，重力就先吃掉一部分弹性势能。球静放在弹簧上会压下一段，压缩量要超过这段的两倍，球才会飞离；不到这个值，它只会跟着弹簧上下振动。

压缩弹簧，释放小球，看能量怎样变成飞行。找出让球离开弹簧的最小压缩量，比较不同的重力，再从记录的顶点高度反推弹簧刚度。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

弹簧只推不拉，弹簧阶段和飞行阶段分段精确求解。忽略空气阻力和弹簧质量。

物理教程

## 弹簧发射器

**背景** 单边弹簧能推球，但不能拉球。

**为什么值得理解** 先根据压缩量预测球会不会飞、能飞多高，再去检验起飞的门槛。

先抓重点

- **核心问题**: 松开弹簧，球就一定会飞起来吗？
- **一句话直觉**: 球还没离开弹簧，重力就已经在弹簧行程里拿走了一部分弹性势能。

### 核心数学模型

#### 接触与飞行

$$
m\ddot q=-k\min(q,0)-mg
$$

坐标从弹簧自然伸长时的顶端算起；弹簧从不拉球。

#### 离开弹簧的门槛

$$
c>\frac{2mg}{k}
$$

压缩量要超过小球静止压在弹簧上时的两倍，球离开时才有正的速度。

#### 离地顶点高度

$$
H_{\max}=L-c+\frac{kc^2}{2mg}
$$

只在球离开弹簧时成立。高度指球底到地面的距离。

#### 从记录高度反推刚度

$$
\widehat k=\frac{2mg}{c^2}(\overline H_{\rm peak}-L+c)
$$

这个理想反推只用高于弹簧自然端的记录顶点。

### 常见难点

#### 压缩了也不一定能起飞

**容易误解** 只要压缩弹簧就能起飞。

**正确理解** 比较无法起飞预设和压缩门槛。压缩量低于门槛时，球不会离开弹簧。

### 动手实验

1. 01

   #### 设置初态

   拖动金色手柄，或用键盘操作对应滑块。

   **你会看到：** 装置与预测运动一起更新。

2. 02

   #### 跟随事件

   播放、暂停，跳到下一个关键事件。

   **你会看到：** 高度连续变化，碰撞却能让速度瞬间跳变。

3. 03

   #### 追踪能量

   在转折点之间拖动时间轴。

   **你会看到：** 弹性势能、动能、重力势能和转移的能量，加起来始终是同一个总量。

4. 04

   #### 记录一次实验

   记录顶点高度，导出 CSV，再比较反推参数。

   **你会看到：** 回放保留同一份记录；改变物理参数才会清空。

物理结论

弹簧松开，不等于球就会离开。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)