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title: "溜溜球与线轴方向谜题互动实验｜Sandbox Physics"
description: "拉线轴的线，线轴一定朝拉的方向滚吗？不一定，还要看拉的角度。线从轴的下方引出时，往右拉得平一些，线轴向右滚；拉得比临界角更陡，它就向左滚。临界角就是线的延长线正好穿过线轴着地点的角度。前提是线轴纯滚动、不打滑。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M053 · 线轴为什么会反向滚

# 溜溜球与线轴方向谜题

**拉线轴的线，线轴一定朝拉的方向滚吗？** 不一定，还要看拉的角度。线从轴的下方引出时，往右拉得平一些，线轴向右滚；拉得比临界角更陡，它就向左滚。临界角就是线的延长线正好穿过线轴着地点的角度。前提是线轴纯滚动、不打滑。

转动视角观察一个三维线轴，绳线沿切线从内轮毂引出。跟着轮缘和地面上移动的刻度，看绕线点和地面接触处的受力，再验证拉力做的功等于动能加接触处生的热。可以调节拉线角度、轮毂半径、质量分布和摩擦。比较下绕和上绕，画出初始加速度随拉线角度的变化，同时对比中心位移和轮缘的转动。在临界角下线轴不动，是因为受力恰好平衡。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

线轴是刚性的均匀圆环，轮毂和绳线都没有质量，绳线不可伸长；忽略滚动阻力和空气阻力。拉力在四秒内保持大小和角度不变。算出的支持力一旦不为正，就不再使用地面接触模型，之后的离地飞行不在本实验范围内。滚动和滑动都按恒定载荷下的精确解计算，并用做功、动能和生热的收支独立检查。反向临界角只适用于下绕且静摩擦足够的情形。

物理教程

## 绳线与地面通过力矩相互制约

**背景** 向右拉线，会直接让中心向右加速；可绳子拉在偏离中心的地方，还会产生力矩。地面接触要同时应付这两种趋势。

**为什么值得理解** 平动和转动方程依据 OpenStax《大学物理》第 10.7 节和第 11.1 节；切向绳线的力矩和接触点做功，是针对这个装置推导的。

先抓重点

- **核心问题**: 什么条件下，向右拉线会让线轴向左运动？
- **一句话直觉**: 下绕时，绳线力矩让线轴逆时针转；向右滚却需要顺时针的角加速度，所以地面摩擦可能让中心反向加速。

### 核心数学模型

#### 带符号的力和力矩

$$
X=F\cos\alpha,\quad \tau=wFr,\quad N=mg-F\sin\alpha,\quad w\in\{-1,+1\}
$$

绕法符号为正表示下绕，为负表示上绕。支持力一旦不为正，地面模型就失效。

#### 纯滚动加速度与摩擦

$$
a=\frac{F(\cos\alpha-wr/R)}{m(1+\beta)},\quad f_{\mathrm{req}}=-\beta ma-\frac\tau R,\quad\beta=\frac I{mR^2}
$$

只有支持力为正、静摩擦也提供得了所需的力时，才能用这个加速度。

#### 候选反向临界角

$$
\alpha_c=\arccos(r/R)\quad(w=+1),\qquad |f_{\mathrm{req}}|\le\mu_sN
$$

超过这个角度，摩擦足够的下绕线轴会向左滚。摩擦不够时，线轴在这个角度未必静止。

#### 绳线作用点做功

$$
W=X\Delta x+\tau\Delta\theta,\qquad W=\Delta K+Q,\qquad Q=\int\mu_kN|v+R\omega|\,\mathrm{d}t
$$

绳线做的功包括转动项。纯滚动时，地面静摩擦不做功；一旦滑动，就会生热。

### 常见难点

#### 只看拉力方向不够

**容易误解** 往右拉，线轴就一定往右滚。

**正确理解** 拉力还带来力矩，地面接触要同时容纳推和转两种趋势。

#### 临界角要满足条件

**容易误解** 在临界角上，线轴总会停住不动。

**正确理解** 所需的静摩擦可能超过上限，绳线也可能把线轴拉离地面。

#### 做功要看作用点

**容易误解** 拉力做的功，就是水平拉力乘中心位移。

**正确理解** 拉力作用在偏离中心的轮毂切点上，线轴转动时，它还会额外做功。

### 动手实验

1. 01

   #### 先检查切点，再判断力矩

   切换到绳线与接触特写，改变绕法和轮毂半径。

   **你会看到：** 绳线离开轮毂的地方，始终和那里的半径垂直。拉力仍然朝右，但换一种绕法，绳线力矩就反向。

2. 02

   #### 比较作用点的功率

   完成一次打滑试验，比较绳线速度、接触生热功率和能量收支。

   **你会看到：** 绳线本身的速度包含平动和转动两部分；累计做功等于动能加上接触处生的热。

3. 03

   #### 预测方向反转

   比较“下绕：向右滚”和“下绕：向左滚”两个预设。

   **你会看到：** 在纯滚动成立的范围内，加速度包络改变了符号。

4. 04

   #### 检验精确平衡

   选择“精确临界角”，完成拉线试验。

   **你会看到：** 接触摩擦让线轴保持不动，力和力矩同时平衡。

5. 05

   #### 降低摩擦

   在临界角把静摩擦降到接近零。

   **你会看到：** 线轴打滑，基于纯滚动的反转预测不再适用。

6. 06

   #### 换绕法，或让线轴离地

   试试“上绕绳线”，再选“地面接触失效”。

   **你会看到：** 在这个角度范围内，上绕没有反向临界角；线轴一离地，就超出了地面模型。

物理结论

临界角公式只有在线轴纯滚动、而且不离地时，才能预测反转。图上的包络同时检查这两个条件。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)