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title: "旋转陀螺：进动与章动互动实验｜Sandbox Physics"
description: "接近竖直的旋转陀螺，何时能保持直立？转得比某个阈值快的时候。阈值由陀螺的质量、形状和转动惯量决定，越重、重心离尖端越远，要的转速越高。超过阈值，小倾斜只会让它在竖直附近点头似地章动；低于阈值，倾斜越来越大，陀螺偏离竖直倒下去。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M057 · 进动与睡眠陀螺

# 旋转陀螺：进动与章动

**接近竖直的旋转陀螺，何时能保持直立？** 转得比某个阈值快的时候。阈值由陀螺的质量、形状和转动惯量决定，越重、重心离尖端越远，要的转速越高。超过阈值，小倾斜只会让它在竖直附近点头似地章动；低于阈值，倾斜越来越大，陀螺偏离竖直倒下去。

让尖端卡在轴承里的均匀实心圆锥陀螺在三维中旋转。把自转、进动和章动分开看，比较两种稳态进动，再在稳定阈值两侧轻推竖直“睡着”的陀螺。支点反力和一套独立的数值误差检查同步显示。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

陀螺是均匀实心圆锥，看作均匀重力场中的理想轴对称刚体，顶点由理想轴承固定。质心位置和绕支点的惯量都由同一组半径、高度算出；手柄、标记和支架都没有质量。数值积分不用小倾角或快自转近似。自转指角速度沿体轴的分量，和欧拉自转角的变化率不同。轴承能推也能拉，所以这不是在桌面上自由滑动或弹跳的尖端。模型忽略摩擦、空气阻力、形变、与地面或支架的碰撞，以及自转衰减。完整记录的曲线里，包含当前时刻之后已经算好的数据。转得快时，画面可能因屏幕帧率出现混叠；暂停后用精细单步按钮查看相位。竖直稳定阈值只适用于竖直旋转附近的无穷小扰动。

物理教程

## 旋转陀螺：进动与章动

**背景** 一个均匀实心圆锥陀螺在三维空间里旋转，尖端卡在轴承里。你可以把自转、进动和章动分开来看，比较两种稳态进动，还可以在稳定阈值两侧轻推一个竖直“睡着”的陀螺。支点反力和一套独立的数值误差检查同步显示。

**为什么值得理解** 仪器里的飞轮和章动的陀螺，遵循同一条刚体定律。只盯着旋转的纹理，就会错过真正要紧的运动：轴线怎样移动。

先抓重点

- **核心问题**: 接近竖直的旋转陀螺，何时能保持直立？
- **一句话直觉**: 重力的侧向力矩会改变角动量，但能量、角动量的竖直分量和它沿体轴的分量都保持不变。

### 核心数学模型

#### 圆锥几何与绕支点的惯量

$$
\ell=\frac34h,\qquad I_3=\frac3{10}mR^2,\qquad I_\perp=\frac3{20}mR^2+\frac35mh^2
$$

陀螺是均匀实心圆锥，顶点由理想轴承固定。质心位置和绕支点的惯量都由同一组半径、高度算出。手柄、标记和支架都没有质量。

#### 完整矢量动力学

$$
\dot{\mathbf L}=mg\ell\,\mathbf e_z\times\mathbf n,\qquad\dot{\mathbf n}=\frac{\mathbf L\times\mathbf n}{I_\perp}
$$

所有量都对固定支点计算。对称轴和角动量一起演化，完整的自转角用四元数记录。

#### 角速度与轴向自转

$$
\boldsymbol\omega=\frac{\mathbf L}{I_\perp}+\left(\frac1{I_3}-\frac1{I_\perp}\right)(\mathbf L\cdot\mathbf n)\mathbf n,\qquad\omega_3=\dot\psi+\dot\phi\cos\theta
$$

绕轴的实际自转，和欧拉自转角的变化率不是一回事。两者一混淆，精确稳态进动的条件就错了。

#### 两条稳态进动分支

$$
I_\perp\cos\theta\,\Omega^2-I_3\omega_3\Omega+mg\ell=0
$$

每个实根都对应一个恒定倾角，但前提是初始没有章动。章动扰动会打破这个解。轴线水平时，方程退化为一次方程。

#### 慢进动近似

$$
\Omega_{\mathrm{slow}}\simeq\frac{mg\ell}{I_3\omega_3}
$$

这个估计略去了横向惯量项。进动比自转慢得多时它才准；自转为零时它没有定义。

#### 三个守恒量

$$
E=\frac{I_\perp}{2}(\dot\theta^2+\dot\phi^2\sin^2\theta)+\frac{I_3\omega_3^2}{2}+mg\ell\cos\theta,\qquad L_z=\mathrm{const},\quad\mathbf L\cdot\mathbf n=\mathrm{const}
$$

质心和支点同高时，势能为零。最大误差除以非零的能量和角动量物理尺度，所以即使某个守恒量本身为零，误差读数仍有意义。

#### 直立稳定阈值

$$
|I_3\omega_3|>2\sqrt{I_\perp mg\ell}
$$

这是局部的线性稳定条件。低于阈值时，完全竖直的旋转仍是精确解；要让陀螺稍微倾斜，才能看出它不稳定。

#### 轴承支点的反力

$$
\mathbf R=m\ell\ddot{\mathbf n}+mg\mathbf e_z
$$

理想轴承既能向上推，也能向下拉住尖端。尖端如果只是放在桌面上，就得另外建立单边接触和碰撞模型。

### 常见难点

#### 角动量总沿转轴

**容易误解** 无论自转多快，角动量都正好沿着轴线。

**正确理解** 轴线一动，横向惯量就会给角动量添上偏离轴线的部分。用低自转或快分支预设，比较蓝色箭头和轴线。

#### 一直竖直就说明稳定

**容易误解** 竖直的陀螺一直保持竖直，就说明它稳定。

**正确理解** 低于阈值时，不受扰动的精确解依然存在。比较几个微小倾角预设，看陀螺受扰动后怎样反应。

#### 支点和桌面上的尖端一样

**容易误解** 普通桌面也能向下拉住尖端。

**正确理解** 这里用轴承把尖端固定住。桌面拉不住尖端；滑动、脱离和碰撞都不在模型内。

### 动手实验

1. 01

   #### 设置倾角，转动视角

   选择普通释放，看全景、俯视和侧视，再拖动橙色倾角手柄。

   **你会看到：** 新的初始轴线同时改变了三维画面和定量记录。

2. 02

   #### 比较两种稳态进动

   选择慢分支和快分支，章动扰动保持为零，再反转自转。

   **你会看到：** 倾角能保持不变，是因为初始进动正好合适。没有这个进动速度就释放，陀螺通常会章动。

3. 03

   #### 检验近似与睡眠态

   降低自转，和近似值对比；再比较圆锥陀螺稳定一侧和失稳一侧的微小倾角预设。

   **你会看到：** 慢进动近似可能失效；局部稳定阈值要靠扰动才能看出来。

4. 04

   #### 检查数值精度

   回看完整记录，观察守恒误差和两种步长之间的差异，用精细相位单步看转子上的标记。

   **你会看到：** 数值误差小，说明模型保留的方程算得准；被略去的摩擦和桌面接触，它证明不了。

物理结论

先确定刚体的形状，再设定角动量；完整的刚体运动和近似的进动公式要分开看。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)