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title: "卫星姿态与重力梯度互动实验｜Sandbox Physics"
description: "伸杆和动量轮，各能为卫星保持指向做些什么？伸杆能让卫星大致朝着地心：引力对近端拉得稍强，质量分布合适时，就形成恢复力矩。可没有阻尼，卫星会一直绕这个方向来回摆，停不下来。动量轮只能把角动量在轮和星体之间搬来搬去，去不掉，转到上限就饱和了。要减少总角动量，得靠外力矩。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M060 · 卫星指向与角动量交换

# 卫星姿态与重力梯度

**伸杆和动量轮，各能为卫星保持指向做些什么？** 伸杆能让卫星大致朝着地心：引力对近端拉得稍强，质量分布合适时，就形成恢复力矩。可没有阻尼，卫星会一直绕这个方向来回摆，停不下来。动量轮只能把角动量在轮和星体之间搬来搬去，去不掉，转到上限就饱和了。要减少总角动量，得靠外力矩。

用均匀本体和伸杆两端两个等质量的点搭一颗刚性卫星，改变它的惯量、轨道高度和初始翻滚。先比较自由转动和重力梯度引起的摆动，再驱动反作用轮，测一测它饱和前能吸收多少角动量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

卫星沿事先给定的圆轨道运行，地球引力按球对称中心场计算，重力梯度力矩取主阶项。对齐时，第一体轴沿径向朝外；轨道法向是世界坐标系的第三轴。惯量由均匀本体和两个对称点质量决定；杆、面上的标记和画出的轮盘都只是示意，没有质量。理想反作用轮沿第三体轴储存相对本体的角动量，锁定时增加的惯量忽略不计；不模拟轮自身的动能、效率和功率上限。动能和电机功读数只算本体，不包括整个轮和电池系统。旋转系中的能量平衡计入了预设的轨道转动和电机做功。模型不考虑大气阻力、磁场、阻尼、伸杆弯曲、轨道偏心、轨道反馈、闭环控制和角动量卸载。因此，伸杆只让卫星来回摆，不会靠耗散停下来；关掉外力矩后，内部的轮也改变不了世界坐标系中的总角动量。轨道圈数决定无量纲时间；轨道高度改变以秒计的周期和国际单位制下的速率。画面自动统一放大，箭头长度经过归一化。

物理教程

## 卫星姿态与重力梯度

**背景** 这里比较四种情形：带伸杆的卫星、去掉伸杆的本体、带初始翻滚的释放，以及只能储存有限角动量的内部反作用轮。

**为什么值得理解** 卫星的指向受三件事影响：随轨道运动的参考系本身在转；卫星两端受到的引力略有不同；反作用轮能存的角动量有上限。

先抓重点

- **核心问题**: 质量怎样分布，卫星才能一直沿径向指着？轮饱和以后又会怎样？
- **一句话直觉**: 重力梯度是外力矩，反作用轮只是在内部搬运角动量。这个模型里两者都不耗散能量，运动不会自己停下来。

### 核心数学模型

#### 轨道角速率与周期

$$
n=\sqrt{\frac{\mu}{(R_E+H)^3}},\qquad P=\frac{2\pi}{n}
$$

轨道越高，同一段按圈数计的姿态运动，换成秒就越长。圆轨道是事先给定的，模型不求解轨道。

#### 带端点质量的伸杆惯量

$$
I_1=I_{1,c},\quad I_2=I_{2,c}+fm\ell^2,\quad I_3=I_{3,c}+fm\ell^2
$$

总质量的一部分放在伸杆两端，每端一半，其余留在本体上。

#### 重力梯度力矩

$$
\boldsymbol\tau_b=3n^2\hat{\mathbf r}_b\times I\hat{\mathbf r}_b
$$

径向单位矢量取朝外还是朝向地心，力矩都一样：它在式中出现两次，两次变号正好抵消。卫星尺寸要远小于轨道半径，这个近似才成立。

#### 理想反作用轮的角动量交换

$$
\mathbf L=R(I\boldsymbol\omega_b+h\mathbf e_3),\quad\dot{\mathbf L}=R\boldsymbol\tau_b,\quad\dot h=u
$$

轮只在自己和本体之间搬运角动量。关掉重力力矩后，即使轮正在加速，世界坐标系中的总角动量也不变。

#### 绕径向的平面摆动

$$
\ddot\theta+\frac{3n^2(I_2-I_1)}{2I_3}\sin(2\theta)=0
$$

没有滚转、轮也不动作时，只要第二主惯量大于第一主惯量，卫星就绕径向来回摆。这条只含一个角度的方程，不能证明完整的三维运动也稳定。

#### 旋转系中的能量平衡

$$
J=\frac12\boldsymbol\omega_b\cdot I\boldsymbol\omega_b+\frac32 n^2\hat{\mathbf r}_b\cdot I\hat{\mathbf r}_b-nL_z,\quad\dot J=-u\omega_3
$$

这个量只随电机对本体做的功变化，减去累计的电机功就得到守恒量。势能可以加上任意一个与姿态无关的常数。轮自身的能量和电池做的功不计入。

### 常见难点

#### 伸杆最终会让摆动停下

**容易误解** 重力梯度姿态既然稳定，卫星就该自己停到这个姿态上。

**正确理解** 没有阻尼，能量守恒，摆动会一直持续。只在一个平面里有回复作用，也证明不了三维运动稳定。

#### 轮能消掉角动量

**容易误解** 内部的轮转快了，卫星的总角动量就少了。

**正确理解** 本体和轮只是互相交换角动量。要把角动量卸掉，必须有外力矩。

### 动手实验

1. 01

   #### 看看伸杆

   比较“伸杆摆动”和“移除伸杆”两个预设，分别看全景、侧视和俯视。

   **你会看到：** 端点质量改变了两个主惯量，重力梯度带来的转动也跟着变。

2. 02

   #### 分开圈数和秒

   在相同的回放位置，比较默认预设和“高圆轨道”预设。

   **你会看到：** 按轨道圈数看，两者姿态一样；换成秒，经过的时间和角速度都不同。

3. 03

   #### 驱动反作用轮

   关掉外力矩，给轮下指令，比较总角动量和轮的角动量。

   **你会看到：** 本体的转动随之改变，总角动量却不变；能量的变化等于电机做的功。

4. 04

   #### 让轮饱和

   选择“反作用轮饱和”预设，回看整段运行，再加上三维翻滚。

   **你会看到：** 轮的角动量到达上限，指令就停了。要卸掉存下的角动量，必须有外力矩，模型里没有卸载机构。

物理结论

时间既要按轨道圈数看，也要按秒看；能量变化要和电机做的功对上。被动摆动、受控收敛和卸载角动量是三回事。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)