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title: "S 矩阵 bootstrap互动实验｜Sandbox Physics"
description: "只要求散射过程自洽，能知道多少？交叉对称性把同一过程的两种描述连起来，极点谱指定可以出现哪些稳定粒子，幺正性限制弹性散射概率。"
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FR05-B · 哪些散射函数能留下

# S 矩阵 bootstrap

**只要求散射过程自洽，能知道多少？** 交叉对称性把同一过程的两种描述连起来，极点谱指定可以出现哪些稳定粒子，幺正性限制弹性散射概率。三者一起，候选散射函数就少了。

在系数平面里拖动一个候选振幅，看交叉对称性、极点谱和概率守恒各自排除哪些位置。再看留下的函数怎样绕过复平面。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型用有限有理函数检查一维空间里相同粒子弹性 S 矩阵元的必要条件。外线质量取一，指定束缚态质量为根号三。解析条件同时固定物理片极点谱，并要求高能和阈值边界规则。一般的次幺正候选从阈值起就会损失弹性概率。若外线粒子是唯一最轻种类，且它的两粒子阈值处没有其他通道开放，完整理论应有一段纯弹性区间；这族函数没有施加这个条件，也没有给出非弹性通道。允许线段只对这族函数成立，不能据此判定完整量子场论是否存在。曲线与导出数值均为模型计算。

有限函数族 · 计算曲线

## 沿着复平面看振幅走一圈

候选函数 精确弹性 CDD 参考 所选快度

$\theta=1.00,\quad s/m^2=5.09$

紫色参考在每个实快度上的模长都是一。候选曲线越过单位圆，意味着它给弹性通道分配了过多概率。

Paulos 等 · 1607.06110v2 · 图 5a

## 换一个变量，仍是同一个解析解

参考采用束缚态质量为根号三的单极点 CDD 解。下面独立的能量变量公式重算图 5a 中用于比较的解析曲线；复现范围到此，不包含原论文的数值优化器。

实部 虚部 模长

$$
S(s)=\frac{\sqrt{s}\sqrt{4-s}+\sqrt3}{\sqrt{s}\sqrt{4-s}-\sqrt3}
$$

实线用能量变量公式，圆点独立用快度形式的 CDD 因子重算。阈值以上取物理切口的上沿，第二个平方根取负虚值。模型快照保存两条计算路径、取样网格和误差。

$\max|S_s-S_\theta|<10^{-12}$

[来源公式 9 与 14](https://arxiv.org/html/1607.06110v2#S2.SS1) [读连续课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

物理教程

## S 矩阵 bootstrap

**背景** 两个相同粒子迎面而来，散射后分开。在一维空间里，弹性结果可以用一个复数描述，这就是 S 矩阵元。它的模平方，是留在这个通道里的概率。

**为什么值得理解** 写一个看似合理的复函数很容易。让它同时满足交叉关系、指定的稳定粒子谱和概率守恒，选择就少得多。

先抓重点

- **核心问题**: 只要求散射过程自洽，能知道多少？
- **一句话直觉**: 一个函数在实能量轴上可以遵守概率守恒，物理片内部却仍可能藏着不允许的极点。

### 核心数学模型

#### 把物理片放进圆盘

$$
\begin{aligned}s&=4m^2\cosh^2(\theta/2),\quad m=1\\z&=\tanh\!\left(\frac{\theta-i\pi/2}{2}\right)\\\theta\mapsto i\pi-\theta&\quad\Longrightarrow\quad z\mapsto-z\end{aligned}
$$

快度用来标记碰撞能量。物理片对应虚部在零到圆周率之间的快度带；换成这个复变量后，带内部映到单位圆盘。交叉变换把圆盘里的点换到对面。

#### 固定束缚态，再选择候选函数

$$
\begin{aligned}C_\alpha(\theta)&=\frac{\sinh\theta+i\sin\alpha}{\sinh\theta-i\sin\alpha},\quad\alpha=\frac\pi3\\S_{a,b,r}(\theta)&=C_\alpha(\theta)\frac{r+iaz}{1-bz^2}\\m_1&=2\cos(\alpha/2)=\sqrt3\end{aligned}
$$

CDD 因子给出指定束缚态极点和它的交叉伙伴。后面的有理函数改变振幅。精确交叉关系要求交叉奇系数为零；要保留指定极点谱和规则边界，分母系数的绝对值必须小于一。

#### 检查所有物理能量上的概率

$$
\begin{aligned}t&=\operatorname{sech}\theta\in[0,1]\\F(t)&=r^2+a^2-(1-b)^2+2rat-4bt^2\\|S(\theta)|\le1\quad&\Longleftrightarrow\quad\max_{0\le t\le1}F(t)\le0\\a=0,\ |b|<1\quad&\Longrightarrow\quad |b|\le1-r\end{aligned}
$$

这族函数的幺正条件可以化成一个二次多项式的最大值。检查两个端点和内部极大值，就覆盖整条实快度轴，也包括高能极限。彩色区域用这个代数判据计算；曲线另外对同一函数取样。

### 常见难点

#### 留下的函数还要接受其他检查

**容易误解** 允许区域里的每个点都对应一种完整量子场论。

**正确理解** 这里检查的是一个弹性矩阵元和有限函数族。其他散射通道、留数符号，以及完整理论是否存在，还需要额外条件。

#### 允许线段确实没有宽度

**容易误解** 亮线表示一条很窄的容差带。

**正确理解** 交叉对称性是精确的函数关系。画面用有宽度的笔画显示零宽集合；把点拖近中线时，交叉奇系数会吸附到零。

### 动手实验

1. 01

   #### 先撤掉一个条件

   先猜：取消“交叉对称性”，允许线段会怎样变？再把金色点向左右拖动。

   **你会看到：** 线段展开成二维区域。重新要求交叉对称性，允许位置又回到竖线，因为交叉奇系数必须精确为零。

2. 02

   #### 离开实轴再看一次

   选择“藏在物理片的极点”。保留“幺正性”，取消“固定极点谱”。

   **你会看到：** 这个候选函数通过了边界上的概率检查。重新固定极点谱后，它被排除：分母在圆盘内部还多了两个零点。

3. 03

   #### 走到弹性解

   选择“弹性 CDD 解”。调低“分子幅度”，先猜允许线段会变长还是缩短。

   **你会看到：** 幅度为一时，允许线段收缩成一个点，复振幅轨迹落在单位圆上。幅度减小，线段打开，轨迹进入圆盘内部。要让这样的函数与物理上的非弹性通道相容，还需要其他条件。

物理结论

实能量轴和复域都要看。每个条件排除的错误候选都不同。

## 相关实验与文章

散射振幅 · 阅读路径

### 从概率流走到散射振幅与 bootstrap

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **把二维散射放进一条复平面带**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/analytic-strip-crossing/)
2. [文章 **亲手缩小一族 S 矩阵，再复算一条已发表曲线**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/finite-bootstrap-benchmarks/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)