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title: "旋转圆环上的小珠互动实验｜Sandbox Physics"
description: "旋转圆环上的小珠，最后停在哪里？转速低于临界值时，小珠待在底部。超过临界值，底部不再稳定，小珠会停在环上两个左右对称的位置之一，偏向哪边，看释放时往哪边轻推。临界角速度正好等于环不转时，小珠在底部小幅来回摆的角频率。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M082 · 约束与对称性破缺

# 旋转圆环上的小珠

**旋转圆环上的小珠，最后停在哪里？** 转速低于临界值时，小珠待在底部。超过临界值，底部不再稳定，小珠会停在环上两个左右对称的位置之一，偏向哪边，看释放时往哪边轻推。临界角速度正好等于环不转时，小珠在底部小幅来回摆的角频率。

电机带着竖直圆环绕竖直直径旋转，可以从多个三维视角观察。拖动套在圆环上的小珠，把电机转速调过临界值，看一个势阱怎样分裂成两个。同时查看小珠在圆环参考系里的运动和导轨给它的完整约束力，再比较约化能量、实验室能量和电机做功。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

小珠看作质点，套在刚性圆形导轨上；电机以给定的恒定转速转动。三维装置画在实验室参考系里，可编辑的坐标面板则留在随圆环一起转的平面内。小珠在圆环上停稳后，仍跟着电机转。蓝色箭头是实验室中的总速度，包括被圆环带着走的那部分；紫色箭头是导轨反力，包含径向分量和沿电机转向的分量。场景长度经过缩放以适应视口，支架和小珠大小只是示意。力箭头共用一个随情况调整的比例尺，速度箭头另用一个。能量视图把各自独立积分的电机功和耗散热，与机械能放在一起比较。可以加入沿圆环切向的黏性阻尼。导轨能沿半径方向推或拉，并提供沿电机转向的科里奥利反力。即使约化能量守恒，电机仍可以和小珠交换实验室中的真实能量。

物理教程

## 约束产生叉形分岔

**背景** 电机带着圆环不停地转。小珠只能沿圆环滑动，一个角度就能描述它的位置；沿这个方向，重力和离心效应在互相较劲。

**为什么值得理解** Dutta 和 Ray 在 arXiv:1112.4697 中讨论了旋转圆环模型和它的分岔。这个实验推导小珠的有效势能，并单独记录电机实际做了多少功。

先抓重点

- **核心问题**: 稳定的圆环底部会变成两个偏离底部的停留位置吗？
- **一句话直觉**: 约化能量是在旋转参考系里定义的能量；实验室能量还包括小珠被圆环带着绕竖直轴转的运动。

### 核心数学模型

#### 实验室中的总速度

$$
\mathbf v=R\dot\theta\,\mathbf e_\theta+\Omega R\sin\theta\,\mathbf e_\phi
$$

第一个单位矢量指向角度增大的方向，第二个指向电机转动的方向。小珠就算在圆环上停稳了，也跟着圆环转，蓝色箭头显示的就是这个牵连速度。

#### 竖直角动量与两种能量

$$
L_z=mR^2\Omega\sin^2\theta,\qquad H=E_{\mathrm{lab}}-\Omega L_z
$$

电机转速恒定时，电机做的总功等于转速乘以竖直角动量的变化。这能独立检验功和能量是否对得上。

#### 沿圆环的运动方程

$$
\ddot\theta=\sin\theta(\Omega^2\cos\theta-g/R)-2\zeta\sqrt{g/R}\,\dot\theta
$$

电机转速是给定的。小珠从电机那里吸收能量也好，交还能量也好，转速都不变。

#### 有效势能

$$
U_{\mathrm{eff}}=mgR(1-\cos\theta)-\tfrac12mR^2\Omega^2\sin^2\theta
$$

离心项可以把底部变成局部极大值。

#### 临界转速与稳定平衡角

$$
\Omega_c=\sqrt{g/R},\quad \cos\theta_*=(\Omega_c/\Omega)^2\quad(\Omega>\Omega_c)
$$

到了临界转速，势能里的二次项系数变为零，但还剩一个四次势阱。

#### 实验室中的电机功率

$$
P_{\mathrm{motor}}=2mR^2\Omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta
$$

实验单独积分这个功率，再拿结果和实验室总能量的变化加上耗散的热比较。

#### 导轨反力的两个分量

$$
N_r=-mR\dot\theta^2-mR\Omega^2\sin^2\theta-mg\cos\theta,\quad N_\phi=2mR\Omega\cos\theta\,\dot\theta
$$

径向反力向外为正；方位反力提供维持电机转速所需的力矩。

### 常见难点

#### 两种能量用途不同

**容易误解** 约化能量守恒就表示电机不做功。

**正确理解** 实验室能量包括小珠被带着绕竖直轴的运动。两种能量的变化量不同，差值正是电机做的功。

#### 不稳定也要有扰动才会离开

**容易误解** 不稳定初态必然自行离开底部。

**正确理解** 精确放在底部的小珠本身就是一个精确解，会一直待着。往一侧稍微偏一点，就能选定一个分支。

#### 导轨既能推也能拉

**容易误解** 负径向反力就说明接触丢失。

**正确理解** 小珠套在导轨上，导轨沿半径方向既能推也能拉。读数为负只表示力指向圆心，不能像单侧接触面那样拿来判断是否脱离。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到单势阱

   选“临界转速以下”，点“观察完整弛豫”。

   **你会看到：** 有阻尼时，小珠慢慢回到底部附近。

2. 02

   #### 跨过临界值

   把“电机转速与临界值之比”调到临界值以上。

   **你会看到：** 势阱一分为二，解析图上出现两个稳定分支。

3. 03

   #### 检验对称性

   比较“两个稳定分支”和“镜像释放”两个预设，再选“精确置于不稳定底部”。

   **你会看到：** 两次镜像释放落到相反的分支上。精确放在底部的小珠一直不动，直到受到扰动。

4. 04

   #### 跟踪电机做功

   把“切向阻尼比”调到零，打开“能量收支”，拖动时间查看记录。

   **你会看到：** 约化能量保持恒定，实验室能量随电机做功改变。

物理结论

转速低于临界值时，底部是稳定的；高于临界值后，往左或往右的一点点初始偏移，决定小珠落到两个对称分支中的哪一个。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)