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title: "滚动竞速实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "比谁先滚下斜坡，实心球一定最快吗？只有摩擦足够让每个物体从一开始就纯滚动时才是。这时实心球赢，它分给转动的能量最少。完全没有摩擦时，所有物体滑下的加速度都一样；一开始就在自转的物体，还可能一直打滑。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M052 · 滚动与摩擦

# 滚动竞速实验室

**比谁先滚下斜坡，实心球一定最快吗？** 只有摩擦足够让每个物体从一开始就纯滚动时才是。这时实心球赢，它分给转动的能量最少。完全没有摩擦时，所有物体滑下的加速度都一样；一开始就在自转的物体，还可能一直打滑。

让实心球、圆盘、薄圆环和自定义环体从三维斜坡上滚下，斜坡可以旋转查看。找出每条轨道冲线的时刻，以及物体从滑动转为纯滚动的时刻，跟踪轮缘上的一个点，再查看记录下来的能量。调节坡角、表面摩擦和初始轮缘转速，比较冲线时间、接触点速度和能量。自定义环体显示纯滚动需要多大的静摩擦；一开始在滑的物体，也可能转入纯滚动。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

物体是刚性的轴对称体，在一条直斜坡上运动，重力恒定，接触处是理想的库仑摩擦；不考虑滚动阻力和空气阻力。动摩擦系数取静摩擦系数的一定比例。在滑移归零的各个时刻之间，加速度恒定，运动按精确解计算；只有静摩擦够用时，物体才会纯滚动。理想的无噪声计时器记录物体第一次向前冲过终点线的时刻；之后这条轨道停止记录，不模拟刹停。

物理教程

## 纯滚动是一条摩擦约束

**背景** 实心球和圆环要转得更快，需要的力矩不一样。这个力矩由接触处的摩擦提供，而同一个摩擦也会改变质心的加速度。

**为什么值得理解** OpenStax《大学物理》11.1 节推导了滚动运动，以及纯滚动需要多大的静摩擦。这场竞速先看静摩擦够不够，够了才用纯滚动公式。

先抓重点

- **核心问题**: 通常的冲线顺序在低摩擦表面还能成立吗？
- **一句话直觉**: 纯滚动要同时满足两条：底部接触点速度为零，所需的摩擦力不超过表面能给的上限。只看质心怎么动，判断不了它是在滚还是在滑。

### 核心数学模型

#### 平动与转动

$$
ma=mg\sin\gamma+f,\qquad I\dot\omega=Rf,\qquad v+R\omega=0
$$

下坡运动和逆时针转动取正。摩擦力沿斜面向下为正。

#### 什么时候能纯滚动

$$
\beta=\frac{I}{mR^2},\quad a=\frac{g\sin\gamma}{1+\beta},\quad \mu_s\ge\frac{\beta}{1+\beta}\tan\gamma
$$

这个不等式只说明能不能纯滚动，不代表实际摩擦力就等于上限。

#### 滑动接触

$$
s=v+R\omega,\qquad f=-\mu_kN\,\operatorname{sgn}(s),\qquad N=mg\cos\gamma
$$

物体释放时滑移为零、静摩擦却不够，求解器就按接触点即将滑动的方向来定动摩擦。

#### 算上接触生热的能量

$$
K=\frac12mv^2+\frac12I\omega^2,\quad Q=\int\mu_kN|s|\,\mathrm{d}t,\quad K+Q-K_0=mgx\sin\gamma
$$

理想的静摩擦接触不会把能量变成热，只是在平动和转动之间重新分配能量。

### 常见难点

#### 摩擦阻碍的是滑移

**容易误解** 摩擦总要反对质心速度。

**正确理解** 物体一开始就在转时，摩擦可以把质心往坡下加速，同时让接触点的滑移变小。

#### 旋转也能滑动

**容易误解** 看见旋转就说明纯滚动。

**正确理解** 看底部接触点的速度，再比较所需摩擦和静摩擦上限。

#### 终点线只是停止记录

**容易误解** 物体到了终点线就停下来。

**正确理解** 每条轨道在物体恰好冲线时停止记录，画面停在最后记录的状态，物体并没有被刹住。

### 动手实验

1. 01

   #### 看斜坡上的接触点

   切到环体接触特写，跟着轮缘上的白色标记看；分别打开或关闭受力箭头和底部速度。

   **你会看到：** 物体滑动时也在转。只有接触点进入纯滚动后，青色滑移箭头才消失。

2. 02

   #### 逐个找到冲线时刻

   点“首次冲线”和“下一次冲线”，再打开这一时刻的“能量账本”。

   **你会看到：** 每条轨道在自己冲线时停止记录，不模拟刹车。能量图只包含自定义环到当前时刻为止记录的数据。

3. 03

   #### 摩擦足够时竞速

   选“摩擦足够，纯滚动”，点“记录全部冲线事件”。

   **你会看到：** 实心球第一，圆盘第二；自定义环和薄环的名次取决于各自的质量分布。

4. 04

   #### 把摩擦降到滚不动

   调低“静摩擦系数”，看自定义环需要的摩擦阈值。

   **你会看到：** 表面给不出纯滚动所需的摩擦时，滑移速度就不再是零。

5. 05

   #### 去掉摩擦力矩

   选“无摩擦并列”。

   **你会看到：** 四个物体同时冲线，接触耗散保持为零。

6. 06

   #### 看转着的物体怎样进入纯滚动

   选“先滑动，再纯滚动”，拖动时间，找到接触点从滑动变成滚动的那一刻。

   **你会看到：** 滑移在一个确定的时刻归零。只要静摩擦够大，之后就一直纯滚动。

物理结论

从静止释放、摩擦足够时，实心球最先到。没有摩擦时，四个物体的质心加速度相同，转着的物体可以一直滑下去。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)