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title: "滚轮与几何相位互动实验｜Sandbox Physics"
description: "转动都还原，位置却变了。 转角闭合，位置还能留下偏移吗？"
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last_modified: "2026-10-18"
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M083 · 受控纯滚动

# 滚轮与几何相位

前滚、转向、后滚、回转。三维直立滚轮恢复原来的朝向和轮面姿态，却留下横向位移；交换指令次序，结果随之反转。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

外部控制的直立理想薄盘，无滑动。采用精确运动学，每条指令持续一秒；不含倾斜动力学、驱动力或微滑。

物理教程

## 控制回路闭合，空间路径未必闭合

**背景** 直立滚轮必须沿朝向滚动。滚动与转向是独立控制，但先后次序会改变最终位置。

**为什么值得理解** 把可见的接触规则、完整轨迹与定量记录联系起来。

先抓重点

- **核心问题**: 如果两个转角都回到初值，滚轮也必须回到原地吗？
- **一句话直觉**: 允许速度方向随朝向变化。在新朝向下撤销相同的标量控制，不能撤销位置变化。

### 核心数学模型

#### 指定转向的纯滚动

$$
\dot x=R\dot\phi\cos\theta,\qquad\dot y=R\dot\phi\sin\theta,\qquad\mathbf v_{\rm contact}=\mathbf 0
$$

俯视时，朝向角从水平正轴逆时针计量；轮面正转使滚轮前进。

#### 初始朝向为零、先滚的回路

$$
\Delta\theta=\Delta\phi=0,\qquad\Delta x=d(1-\cos\alpha),\quad\Delta y=-d\sin\alpha
$$

另一种指令次序让位移反向。每条指令持续一秒；这里不声称计算了动力学中的力或功。

### 常见难点

#### 接触约束限制速度

**容易误解** 控制复原或转向减弱，一定会撤销运动或消耗能量。

**正确理解** 比较两种指令次序的终点；允许速度取决于当时朝向。

### 动手实验

1. 01

   #### 实验 1

   拖到终点：两个转角回到初值，位置却没有。

   **应该观察到：** 比较同步轨迹与数值读数。

2. 02

   #### 实验 2

   交换指令次序，再把转向角设为零。

   **应该观察到：** 比较同步轨迹与数值读数。

3. 03

   #### 实验 3

   保持距离不变、改变半径，观察轮面标记经历不同转角。

   **应该观察到：** 比较同步轨迹与数值读数。

物理结论

速度约束未必能积分成位置与转角间的关系；这给出了非完整约束的一个具体表现。

一手理论资料：[Simoes & Colombo · rolling disk](https://arxiv.org/abs/2303.17920) · [Chang & Perlmutter · Chaplygin sleigh](https://arxiv.org/abs/1811.03757)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)