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title: "渡河与航向规划互动实验｜Sandbox Physics"
description: "最快到对岸，就能到正对岸吗？最快过河要把船头朝正对岸，让相对水的速率全部用来过河，水流仍会把船带向下游。"
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M005 · 水在流，船向哪走

# 渡河与航向规划

**最快到对岸，就能到正对岸吗？** 最快过河要把船头朝正对岸，让相对水的速率全部用来过河，水流仍会把船带向下游。若恒定航向能抵消漂移，就要朝上游偏转，渡河也会更久。

在均匀流、剪切流和中心急流中调整航向，比较最快渡河与恒定航向下的正对岸到达。把船相对水的速度与水流相加，看船实际走向哪里。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

船相对水的速率与航向给定，水流沿下游方向定常流动。三种剖面的全河宽平均流速相同。不求解加速、阻力、波浪或船体动力学；正对岸方案限于恒定航向。

物理教程

## 最快渡河与到正对岸，是两个任务

**背景** 把船头朝向对岸，船自身的运动负责过河，水流同时把它往下游带。两种速度一起决定相对岸的运动。

**为什么值得理解** 要抵消下游漂移，就得把一部分速率用来向上游行进。流速沿河宽变化时，船头不转，航迹也会弯。

先抓重点

- **核心问题**: 目的地从“对岸任一点”改成“正对岸”，路线为什么变了？
- **一句话直觉**: 把相对水的全部速率用来过河，用时最短。平均水流足够慢时，一个朝上游偏转的恒定航向能抵消总漂移。

### 核心数学模型

#### 相对水与相对岸的速度

$$
\begin{aligned}\mathbf v_g&=\mathbf v_b+\mathbf u\\v_{g,x}&=u(y)-v_b\sin\theta\\v_{g,y}&=v_b\cos\theta\end{aligned}
$$

水平正方向沿下游，航向角从正对岸方向朝上游量起。

#### 渡河时间与落点漂移

$$
\begin{aligned}T&=\frac{W}{v_b\cos\theta}\\X&=\frac{W(\bar u-v_b\sin\theta)}{v_b\cos\theta}\\\bar u&=\frac1W\int_0^W u(y)\,\mathrm dy\end{aligned}
$$

每次试验保持一个航向，过河分速度不变；下游漂移把整段河宽上的水流积起来。

#### 最快到达对岸任一点

$$
T_{\min}=\frac{W}{v_b},\qquad\theta=0
$$

水流没有过河方向的分量。船朝正对岸时，过河分速度已达到相对水的全部速率。

#### 以恒定航向到正对岸

$$
\begin{aligned}\sin\theta_{\mathrm{opp}}&=\frac{\bar u}{v_b}\\T_{\mathrm{opp}}&=\frac{W}{\sqrt{v_b^2-\bar u^2}}\end{aligned}
$$

有限时间的解要求平均水流比船慢。在变流速中，随时改变航向的路线属于另一个控制问题。

### 常见难点

#### 船头方向不是相对岸的走向

**容易误解** 船头朝哪里，船就沿哪里走。

**正确理解** 船头决定相对水的速度，水流再叠加一份相对岸的速度。

#### 落点相同，途中可以弯曲

**容易误解** 到正对岸，就说明全程走在那条直线上。

**正确理解** 流速变化时，前后的漂移可以抵消。航迹弯曲，最后也能回到正对岸。

#### 公式的可行条件有范围

**容易误解** 恒定航向的公式没解，任何航行办法都没用。

**正确理解** 这里始终保持一个航向。改变航向，或在慢流区域等待和调整，是不同的规划任务。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看水流怎样变

   选“弯曲的航迹”，观察金色水流标记。

   **你会看到：** 中心流得比两岸快。蓝船相对水的航向不变，相对岸的路线仍会弯。

2. 02

   #### 尽快到对岸

   选“最快渡河”。

   **你会看到：** 船相对水的全部速率都用来过河，渡河更快，落点却在下游。

3. 03

   #### 到达正对岸

   选“到达正对岸”，或点“设为正对岸航向”。

   **你会看到：** 向上游偏转，能抵消整段漂移，渡河也更久。

4. 04

   #### 平均不变，换一个剖面

   保持平均流速和航向，比较均匀流、剪切流与中心急流。

   **你会看到：** 渡河用时和最终落点相同，途中路线却不同。

5. 05

   #### 把均匀水流调得更快

   选“水流快过船”。

   **你会看到：** 此时没有有限时间的恒定航向正对岸方案，仍能正常过河，只是被带向下游。

6. 06

   #### 看速度怎样相加

   在过河途中暂停，查看控制区下方的速度矢量图。

   **你会看到：** 先沿蓝色的相对水速度，再沿金色水流速度，就到达青色的相对岸速度箭头末端。

物理结论

航向固定时，流速剖面改变航迹，河宽平均流速决定落点。全程漂移为零，不要求每一处都抵消水流。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
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5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
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