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title: "粗粒化与重整化参数流互动实验｜Sandbox Physics"
description: "格点变稀以后，长距离上的预测为什么还能保留下来？把短尺度自由度积分掉，剩下的场就要换一组参数。"
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last_modified: "2026-10-27"
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F002 · 换一个尺度看场

# 粗粒化与重整化参数流

**格点变稀以后，长距离上的预测为什么还能保留下来？** 把短尺度自由度积分掉，剩下的场就要换一组参数。用长波的几个量确定参数，其他低能预测仍可能接近原模型；格点过稀或丢掉重要项时，误差就会显露出来。

隔一个站点保留一个场值，把中间的自由度积分掉。用两个长波模式确定参数，再拿没有参与匹配的第三个模式检验预测。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

欧氏样本与单圈参数流采用两个独立模型。

用两个模式匹配，再检验一个

## 能保住多大一段谱？

精确边缘分布 虚线：局域近似 金点：留出模式

哪些模式参与了匹配？

零模式和第一个非零模式用来确定两个参数。下一个模式检验协方差预测；导出的轨迹保留精确边缘分布的完整结果。

### 十二份场样本给出的估计

样本均值与一个标准误差 精确协方差 虚线：匹配后的局域协方差

把金色估计与精确协方差比较。

样本不确定度怎样计算

每个点都把轮播中同一组十二份保留场样本的 Fourier 模式功率取平均。误差棒来自这十二个独立样本之间的方差。参数匹配使用精确的零模式和第一模式；采样点显示有限记录的不确定度，它与上方精确留出结果的截断误差分开。

另一个有相互作用的理论

## 沿一个方向靠近 Wilson–Fisher 点

粗青线：调好的临界轨迹 Wilson–Fisher 不动点 拖动金色初始点

拖动金色点，比较附近的参数流轨迹。

参数流的含义与临界指数

粗青线按 Tong 第3.5节图30的单圈方程，数值追踪调好的临界轨迹，箭头走向紫色不动点。细线从附近不同条件出发；小参数属于这个接近四维的独立模型。

$\nu=\frac12+\frac{\epsilon}{12}+O(\epsilon^2)$ $\nu_{\mathrm{leading}}=0.508$

$\gamma=1+\frac{\epsilon}{6}+O(\epsilon^2)$ $\gamma_{\mathrm{leading}}=1.02$

模型方程、核读来源与边界

主模型是一维周期边界的欧氏高斯场，可以加入高阶导数项。画面轮播独立样本，不表示物理时间。下方另列一个接近四维的单圈标量场参数流。

长度采用固定参考单位，场幅经过缩放，欧氏作用量无量纲。六十四站点的环采用正质量、非负高阶刚度。先用 Schur 补精确积分，再用最近邻作用量匹配两个模式。高阶刚度为零时，这一维高斯模型抽稀后恰好仍在同一家族内。

$$
r=\mu^2/\Lambda^2,\quad u=9\widetilde g/(2\pi^2),\quad \frac{dr}{ds}=2r+\frac{u}{3(1+r)},\quad \frac{du}{ds}=\epsilon u-\frac{u^2}{(1+r)^2}
$$

另列的流图只保留略低于四维时的单圈质量和四次耦合。图中只显示小耦合窗口。代码求出截断方程的不动点，指数则只保留小参数的一阶项；这里不据此给出三维精密指数或非微扰连续极限。

[Tong：第3章3.5节，印刷页90—91、图30（已核读方程和图）](https://davidtong.org/pdfs/teaching/statistical-field-theory/sft3.pdf)

[Wilson 与 Fisher，PRL 28,240（1972）：出版摘要给出的一阶磁化率指数（已核读摘要）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.28.240)

[Wilson 1982年诺贝尔演讲：尺度变换的物理意义](https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/wilson-lecture.pdf)

物理教程

## 抽掉一半站点，留下的概率分布保持不变

**背景** 一条长波会跨过许多格点。要预测它，是否真的需要保留每一个站点？可以把问题变成一次具体计算。

**为什么值得理解** 把一部分场值积分掉，给剩下的场重新确定参数，再检验一个没有参与匹配的预测。这几步把重整化从抽象说法变成了可操作的实验。

先抓重点

- **核心问题**: 用两个长波模式确定参数，第三个模式还能预测得多准？
- **一句话直觉**: 积分掉一部分自由度后，留下的变量仍服从原来的边缘分布；再把有效作用量缩成一个短公式，近似才从这一步开始。

### 核心数学模型

#### 一个正定的高斯格点作用量

$$
S=\frac a2\sum_i\left[m^2\phi_i^2+\left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_i}{a}\right)^2+\kappa\left(\frac{\phi_{i+1}-2\phi_i+\phi_{i-1}}{a^2}\right)^2\right]
$$

六十四个站点首尾相接。长度和场强采用固定的参考单位，欧氏概率权重等于作用量取负后的指数。

#### 把不保留的站点积分掉

$$
Q_{\mathrm{eff}}=Q_{rr}-Q_{re}Q_{ee}^{-1}Q_{er},\qquad C_{rr}=Q_{\mathrm{eff}}^{-1}
$$

留下的站点保留原有协方差。金色一行的场值直接取自青色一行的对应位置。

#### 只留两个参数的局域近似

$$
A_{\mathrm{local}}(q)=c_0+4c_1\sin^2(q/2),\qquad q_n=2\pi n/N_{\mathrm{coarse}}
$$

用 $n=0,1$ 两个模式确定系数，再用没有参与匹配的 $n=2$ 检验预测。

### 常见难点

#### 抽稀和求平均不同

**容易误解** 金色场值是每一块里所有场值的平均数。

**正确理解** 这里每隔二、四或八个站点保留一个。其余站点虽然从画面中删去了，它们对概率的影响仍留在积分得到的有效作用量里。

#### 穿过两个点还不够

**容易误解** 近似曲线穿过两个模式，说明粗格点模型已经正确。

**正确理解** 这两个点用来确定参数，本来就会吻合。要检验预测，应该看第三个模式，再看更短的波长。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看长波留下多少

   选择“长波留下来”，在场图上横向拖动。

   **你会看到：** 金色站点与对应的青色站点有相同场值。用短公式近似时，长波部分通常贴得更近。

2. 02

   #### 找到局域模型恰好够用的情况

   选择“局域模型恰好够用”。

   **你会看到：** 关掉高阶导数项以后，这条一维最近邻高斯链抽稀后仍是最近邻高斯链。留出误差降到浮点舍入的量级。

3. 03

   #### 让未参与匹配的模式来检验

   选择“格点过稀的代价”，比较金色点和虚线。

   **你会看到：** 第三个模式没有帮忙确定参数。它的协方差误差显示，把有效作用量截短会付出多大代价。

物理结论

低能预测能否稳定，要在明确的分辨率下匹配参数，再用新观测检验。

## 相关实验与文章

场、尺度与临界现象 · 阅读路径

### 从场模走到临界现象

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **换一种分辨率，保留低能预测**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/keeping-low-energy-physics/)
2. [文章 **读懂 Wilson–Fisher 流图**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/wilson-fisher-and-universality/)
3. [实验 **有限尺寸标度**](https://sandboxphysics.com/zh/labs/finite-size-scaling/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)