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title: "反作用轮倒立摆互动实验｜Sandbox Physics"
description: "杆稳住了，飞轮还在转。 旋转飞轮怎样稳住静止摆杆？"
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last_modified: "2026-10-19"
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控制与力学 · 动量储存

# 反作用轮倒立摆

加速飞轮，让定轴摆杆保持直立。改变轮半径、可用扭矩或初始转速，观察为什么杆稳定之后，轮仍可能高速旋转。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

单平面刚杆与中心均匀圆盘。理想扭矩—转速包络与重力补偿角度反馈；不含起摆、动量卸载、碰撞或面外陀螺运动。

物理教程

## 静止摆杆背后，飞轮仍在旋转

**背景** 直立是一个不稳定平衡。反馈必须依据实际运动，并通过能力有限的执行器施加作用。

**为什么值得理解** 把装置运动、请求驱动和机械做功当成同一个实验来读。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么摆杆保持直立，转子却保留角动量？
- **一句话直觉**: 电机施加一对大小相等、方向相反的扭矩。杆可以稳定，角动量却留在轮内；重力对支点仍施加外力矩。

### 核心数学模型

#### 摆杆与转子动力学

$$
I_b\ddot\theta=G\sin\theta-\tau,\qquad J\dot\nu=\tau,\qquad\dot\phi=\nu
$$

转子转角与转速均为绝对量，电机轴读取转子与杆的转速差。摆杆惯量包含杆与轮心平动，不包含转子自身轴向自转。

#### 未饱和角度反馈

$$
\tau_d=G\sin\theta+I_b(\lambda^2\theta+2\lambda\dot\theta),\qquad\ddot\theta+2\lambda\dot\theta+\lambda^2\theta=0
$$

第二式仅在直立控制区内、电机能提供请求扭矩时成立。

#### 相对轴的功率

$$
E=\tfrac12 I_b\dot\theta^2+\tfrac12J\nu^2+G(\cos\theta-1),\qquad\dot E=\tau(\nu-\dot\theta)
$$

电机做功可正可负。这是机械轴功，不包含耗电与电损耗。

### 常见难点

#### 反馈并非无限强

**容易误解** 开启反馈就一定能从任意初态恢复。

**正确理解** 比较上限预设。这些是驱动能力有限的局部平衡控制器，不是起摆算法。

#### 绝对与相对转动

**容易误解** 杆静止，飞轮就停止。

**正确理解** 分别读取转子绝对角动量与电机相对转速。

### 动手实验

1. 01

   #### 释放

   拖动金色初始倾角手柄，再播放。

   **应该观察到：** 观察摆杆与有符号驱动请求。

2. 02

   #### 寻找极限

   选择降低转速上限，再比较更大的飞轮。

   **应该观察到：** 寻找请求驱动和实际驱动分离的时刻。

3. 03

   #### 核对能量

   到达回放终点，导出记录，并比较标准与精细积分。

   **应该观察到：** 机械能的变化跟随电机有符号做功。

物理结论

局部稳定控制需要足够的执行能力。饱和执行器无法提供理想控制指令。

一手理论资料：[MIT · Cart-Pole](https://underactuated.mit.edu/acrobot.html) · [ETH Zürich · 1D reaction-wheel model, Section II](https://idsc.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/dynamic-systems-n-control/idsc-dam/Research_DAndrea/Cubli/cubliCDC13.pdf)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)