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title: "热梯度怎样自组织成对流滚轴互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一层流体从下方加热，什么时候会开始对流？当 Rayleigh 数超过临界值的时候。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/rayleigh-benard-convection/"
last_modified: "2026-10-27"
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流体力学 · 从对流到混沌

# Rayleigh–Bénard Convection

**一层流体从下方加热，什么时候会开始对流？** 当 Rayleigh 数超过临界值的时候。这个数衡量浮力与黏性、热扩散之间的强弱。超过之后，任何一点扰动都会长成稳定的对流滚轴；加热再强些，滚轴还会一次次反转方向。要是完全没有扰动，流体就一动不动，只靠热传导。

从一个微小扰动出发，积分三个对流模态。旋转视角，看冷热流体怎样交换、示踪粒子怎样运动；再比较温度剖面、热输运和相空间轨道，看稳态滚轴怎样形成，又怎样失去稳定。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

Lorenz 三模态模型的上下边界自由滑移、温度固定，$a^2=1/2,\quad \mathrm{Ra}_c=27\pi^4/4\approx657.5$。立体视图是二维场沿纵深的拉伸，实验不求解刚性壁面，也不求解三维湍流。

物理教程

## 热对流：从一个扰动走向稳态，或走向换向

**背景** 从底部加热，下层流体变轻，可黏性和热扩散会阻碍它动起来。这个实验不画现成的对流滚轴，而是从一个初始扰动出发，积分三个耦合模态，再由它们算出流动和温度。

**为什么值得理解** 这个问题把热输运、线性失稳和确定性混沌连在一起。看到的每条轨迹，都可以拿同一组方程、稳态解和热流读数来检验。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么有的扰动会消失，有的形成稳定环流，还有的让环流不断换向？
- **一句话直觉**: 驱动比 $r$ 决定纯导热状态稳不稳定，但失稳不会凭空造出扰动。完全没有扰动时，流体一直保持精确的导热解；只有非零扰动才会沿不稳定方向长大。

### 核心数学模型

#### 浮力、阻尼与几何

$$
\mathrm{Ra}=\frac{g\alpha\Delta T H^3}{\nu\kappa},\quad r=\frac{\mathrm{Ra}}{\mathrm{Ra}_c},\quad \mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\kappa},\quad \mathrm{Ra}_c=\frac{27\pi^4}{4}
$$

对自由滑移、温度固定的边界，所选的水平波数让对流开始的阈值最低。刚性壁面的阈值不同。

#### 一起演化的三个模态

$$
\frac{dX}{d\tau}=\mathrm{Pr}(Y-X),\quad \frac{dY}{d\tau}=rX-Y-XZ,\quad \frac{dZ}{d\tau}=XY-bZ,\quad b=\frac{8}{3}
$$

环流、冷热对比和平均温度剖面的变形一起演化。RK4 按固定的模型时间步长推进。另有一条邻近轨道，只在初始环流上多加了极小的一点。

#### 由流函数得到不可压缩流场

$$
\psi=\frac{\sqrt{2}\kappa(1+a^2)}{a}X\sin\!\left(\frac{\pi ax}{H}\right)\sin\!\left(\frac{\pi z}{H}\right),\quad u=-\partial_z\psi,\quad w=\partial_x\psi,\quad a^2=\frac12
$$

用流函数表示流动，散度自然为零，流体也不会穿过上下板。水平方向是周期边界。立体视图只是把同一个场沿纵深拉伸，没有第三个方向的动力学。

#### 温度场，不做截断

$$
\frac{T-T_c}{\Delta T}=1-\frac{z}{H}+\frac{\sqrt{2}Y\cos(\pi ax/H)\sin(\pi z/H)-Z\sin(2\pi z/H)}{\pi r}
$$

上下板温度固定。超出两板温度范围时，只是颜色不再变化，温度值本身不截断。低阶模型的温度可能冲出这个范围，强驱动时尤其明显。

#### 两种热输运指标

$$
\mathrm{Nu}_p=1+\frac{2Z}{r},\quad \mathrm{Nu}_v=1+\frac{2XY}{br},\quad \mathrm{Nu}_v-\mathrm{Nu}_p=\frac{2}{br}\frac{dZ}{d\tau}
$$

层内储存的热量还在变化时，板面温度梯度和体积平均总热流不相等；到了稳态分支，两者一致。它们都由当前模态算出。

#### 稳态解与时间尺度

$$
X_*=Y_*=\pm\sqrt{b(r-1)},\quad Z_*=r-1,\quad \mathrm{Nu}_*=3-\frac{2}{r},\quad \tau=\pi^2(1+a^2)\frac{\kappa t}{H^2}
$$

越过起始阈值后才有非零稳态分支。时钟显示的是无量纲模型时间，不是秒。强驱动下的 Lorenz 动力学不能定量预测实验室里的湍流。

### 常见难点

#### 临界值取决于边界

**容易误解** 所有上下加热的流体都有同一个初生阈值。

**正确理解** 这里的上下界面自由滑移、温度固定，水平周期也固定。它的阈值不能套用到刚性无滑移壁面上。

#### 相图不是流体粒子轨迹

**容易误解** 双翼形模态轨道就是两个真实涡旋。

**正确理解** 相图上的点代表整个流场的模态状态；装置里示踪粒子画出的才是位置轨迹。两者由同一个状态驱动，但画在不同的空间里。

#### 失稳不等于真实湍流

**容易误解** 稳态分支失稳后，图像就是解析充分的三维湍流。

**正确理解** 驱动强时，只留三个模态会丢掉真实流体里的小尺度结构。混沌换向是这个截断系统的行为，不能当成真实湍流的热输运定律。

### 动手实验

1. 01

   #### 让扰动衰减

   选择“扰动衰减”，推进几个模型时间单位。

   **你会看到：** 环流趋近零，平均温度回到线性导热剖面，两种热流趋近一。

2. 02

   #### 形成稳定滚轴

   选择“稳定滚轴”，比较早期与后期的热流曲线。

   **你会看到：** 刚开始两种热流不一样；收敛后都接近虚线表示的稳态值，模态轨道停在其中一个稳态分支上。

3. 03

   #### 观察确定性换向

   选择“Lorenz 换向”，继续播放或提高播放速率。

   **你会看到：** 环流方向反复翻转，轨道绕着两个分支转。初值上的微小差别可能越来越大。播放速率只改快慢，不改方程。

4. 04

   #### 没有扰动会怎样

   选择“无扰动”并推进时间，然后给初始扰动一个非零值。

   **你会看到：** 精确的零解不会自己生出环流。设置初始扰动后，实验从零时刻重新开始。

物理结论

读数、温度和粒子都来自同一个随时间演化的状态。这个实验积分的是低阶对流方程，截断、自由滑移边界和温度超调这些局限都直接摆在眼前。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)