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title: "量子态与 Born 测量互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-27"
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Q001 · 振幅与测量

# 量子态与 Born 测量

**两个态能在一个基中相同，在另一个基中不同吗？** 可以。两个态在一个基里各结果的概率相同，相对相位却可能不同；换到横向的基，比如把 z 换成 x，结果就分开了。要把真实的相位差和混合态、采样噪声区分开，得在几个基里测，还要攒够计数。

制备纯态或混合态，转动分析器，先预测概率。再一次次采集测量结果，把出现的频数和统计区间拿去和密度矩阵的预测对比。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

球面画的是态空间。混合态由纯态和非极化系综混合而成，它的向量更短，长度由密度矩阵给出。整体相位不改变任何计数。

模拟采集

## 先预测，再采集证据。

尚未采集记录。

### 从采集计数推断

采集一次扫描后，才能估计信号。

$\text{—}$

密度矩阵与计数约定

$\rho=\frac{I+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\sigma}{2}$

最近的原始事件 · 完整记录见 CSV

| 事件 | 设置 | 结果 |
| --- | --- | --- |

科学依据： [Feynman III.6](https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_06.html) · [MIT 8.05](https://ocw.mit.edu/courses/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/resources/lecture-notes-7/) · [NIST Ramsey](https://www.nist.gov/publications/ramsey-spectroscopy-displaced-frequency-jumps)

物理教程

## 通过不同测量基读取量子态

**背景** 一个量子态给出沿任意测量轴的结果概率。混合态的极化比纯态小。

**为什么值得理解** 做干涉实验或表征一个态，要知道相对相位和制备的统计情况。只看一个基里的占据率不够。

先抓重点

- **核心问题**: 两个态在 Z 方向的概率一样，换哪个分析器才能把它们分开？
- **一句话直觉**: 相对相位会改变垂直于 Z 的分析器给出的概率；整体相位在密度矩阵里直接消掉。

### 核心数学模型

#### 纯态与非极化系综的混合

$$
\rho=v|\psi\rangle\langle\psi|+(1-v)I/2
$$

系综里一部分处在纯态，其余部分完全没有极化。

#### 密度矩阵形式的 Born 规则

$$
P(+\boldsymbol n)=\operatorname{Tr}(\rho\Pi_+)=(1+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol n)/2
$$

测到正结果的概率，只看 Bloch 向量沿分析器方向伸出多远。

#### 态的纯度

$$
\operatorname{Tr}(\rho^2)=(1+|\boldsymbol r|^2)/2
$$

Bloch 向量越长，纯度越高。纯度描述整个系综，不代表某个粒子朝哪儿。

### 常见难点

#### 向量变短说明是混合态

**容易误解** 混合态不过是范数小一点的纯态波函数。

**正确理解** 纯态波函数永远归一化。Bloch 向量变短，描述的是一个系综，要用密度矩阵来写；这个矩阵具有单位迹，本征值都不为负。

#### 置信区间说的是什么

**容易误解** 就这一份记录而言，这个 95% 区间恰好有 95% 的概率包含真值。

**正确理解** 覆盖率说的是大量重复实验的情形，对 Wilson 区间也只是近似成立。装置误差和模型误差都不在区间里。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测 Z 基

   选择 Z 基隐藏相位，预测扫描相对相位时正结果比例会不会变。

   **你会看到：** 模型曲线是一条水平线，新采集的计数在同一个概率上下波动。

2. 02

   #### 读出相位

   选择读取相位，采集扫描，再转动分析器方位角。

   **你会看到：** 分析器转动时，条纹相对制备相位平移；条纹高低由横向相干决定。

3. 03

   #### 混合制备

   依次选择部分混合与最大混合态，每次用相同测量次数扫描。

   **你会看到：** 密度矩阵跟着变。纯态比例降到零时，分析器无论朝哪儿，正结果都只占一半。

4. 04

   #### 改变样本数

   设置不动，先采 20 次，再采 2000 次；然后改变整体相位，再测一遍。

   **你会看到：** 样本越多，Wilson 区间越窄。整体相位变了，理论概率一个也不变。

物理结论

换几个测量基，保留原始计数，才能把相对相位、混合和采样噪声分开。

## 相关实验与文章

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1. [文章 **完美探测器还会留下多少量子计数噪声**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/quantum-projection-noise-population-counts/)
2. [实验 **Ramsey 测频与原子钟** 比较用有限个原子测出的 Ramsey 条纹](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ramsey-frequency/)
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5. [实验 **激光冷却与磁光阱** 比较中心动量峰和相机看到的整体动量分布](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-cooling-magneto-optical-trap/)

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入门路径 · 第 1 / 6 步

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[下一步 → **Stern–Gerlach 顺序测量台** 把中间磁铁转到交叉方向，再与同轴情况比较：中间这次测量改变了什么？ 比较 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)

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2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
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5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

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