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title: "石英晶体微天平互动实验｜Sandbox Physics"
description: "晶体频率下降了，什么时候才能换算成新增质量？薄而刚性耦合的膜跟着石英剪切，增加惯性，共振频率便下降。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/quartz-crystal-microbalance/"
last_modified: "2026-11-03"
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IN16 · 薄膜拖慢剪切振动

# 石英晶体微天平

**晶体频率下降了，什么时候才能换算成新增质量？** 薄而刚性耦合的膜跟着石英剪切，增加惯性，共振频率便下降。先用相容空白去掉基线漂移，才能换算单位面积质量。液体拖曳和柔顺连接也会改变频率与损耗，单看频移无法认定干质量。

给剪切振动的石英镀膜，比较干燥、液体与柔顺负载。先拟合已存电流扫描，再把适用的频移换算成面密度。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

拖动金色驱动旋钮，预览理想剪切与电流。保存扫描后，用洁净温度空白比较校准过的ADC观测。

表面介质 均匀薄膜面密度$2$ 已平衡温度$20$ 相对5兆赫的驱动偏移$-110$

已载入三个干空白及一次涂膜扫描。

液体、连接、接收器与扫描

薄膜连接模型 液体密度／千克每立方米$998.2$ 液体黏度／毫帕秒$1.002$ 净并联电容／皮法$20$ 扫描半宽／赫兹$2500$ 电流噪声／每分量微安均方根$0.02$ 双极ADC电流量程／毫安$1$ 随机种子$189$

空白采集将晶片清洁、干燥，分别平衡到15、25、35摄氏度，随后恢复样品设置。这里假定清洁可重复且电极不变，不模拟温度瞬态或沉积动力学。

模型假设

采用5兆赫基频厚度剪切教学模型。复电流ADC扫描对应给定运动电容的BVD电路，频率、半高半宽与并联电容均从原始采样拟合。独立电流、频率和温度标准及三组干空白温度扫描随记录保存。气相均匀、薄且刚性耦合的膜采用小负载Sauerbrey关系；单面半无限牛顿液体和被动柔顺连接作为反例，本干质量估计器在这些条件下不给出质量。适当的液相实验配合额外假设和相容参考仍可测质量。这里不提供多模态、有限厚度黏弹反演、分布灵敏度、温度瞬态或商用精度。剪切位移、晶片厚度与薄膜厚度明确放大，数据图放在装置外。

模拟复电流ADC观测

## 先拟合共振，再判断质量

已存扫描

相对干温度空白的频移 $-113\,\mathrm{Hz}$

拟合半高半宽 $25.9\,\mathrm{Hz}$

耗散因子 $1.04\times10^{-5}$

条件适用时的干膜面密度 $2.00\,\mathrm{\mu g/cm^2}$

空白、接收器标定与拟合质量

ADC在每个频率示值处保存两个有效值电流分量。独立电流标准给出复比例与偏置，已知频率和温度参考给出各自标度。三个洁净干空白只在所测温度之间去除这里假定的二次温漂。新控件或新标准不替换旧扫描内的条件。假定均匀权重的有效面积为0.20平方厘米，总质量还须使用这个面积。这里不提供统计置信区间或商用不确定度。

$$
Y(\omega)=i\omega C_0+\frac{1}{R_m+i(\omega L_m-1/(\omega C_m))}
$$

机械模型、显示倍率与适用范围

采用5兆赫AT切石英基频厚度剪切的小负载模型。均匀、刚性耦合的气相薄膜采用Sauerbrey关系；单面牛顿液体同时改变频率和阻尼。本干质量估计器对液体或柔顺负载不提供质量。其它液相QCM测量可配合相同液体参考和额外假设，测定刚性增量。柔顺情形是一块通过弹簧与阻尼连接的集中质量，不是有限厚度黏弹膜反演；不唯一推断膜模量，也不分别反推液体密度和黏度。

剪切位移放大百万倍，石英厚度放大12倍，薄膜厚度放大5万倍；以每秒0.65周慢放。液体示踪点的法向高度放大5000倍，以显示模型中的Stokes穿透；整体液滴外形为示意。金电极厚度和支架尺寸为示意。不计实际薄膜与密封形变、空间灵敏度权重、非线性压电响应、液体导电、表面粗糙度及温度瞬态。温度只改变给定的石英基线；液体黏度和密度作为该温度下的独立输入。

$$
\Delta f=-\frac{2f_0^2m_A}{\sqrt{\rho_q\mu_q}},\qquad \Gamma=\frac{R_m}{4\pi L_m}
$$

[SRS QCM200手册，修订2.5（2018年6月），第15–16、27–30、35–37、42、49–55页](https://www.thinksrs.com/downloads/pdfs/manuals/QCM200m.pdf)

物理教程

## 表面带着负载横向剪切

**背景** 电极间电压让石英两面朝相反方向横向运动。刚性膜跟着表面走，液体也会从这种运动中取走能量。

**为什么值得理解** 频率很容易精细计数，一次下降却可能有几种物理原因。

先抓重点

- **核心问题**: 晶体频率下降了，什么时候才能换算成新增质量？
- **一句话直觉**: 质量估计需要适用负载模型、相容空白，以及从观测拟合出的共振。

### 核心数学模型

#### 基频下的薄刚性膜

$$
\Delta f=-\frac{2f_0^2}{\sqrt{\rho_q\mu_q}}m_A
$$

气相均匀、声学上薄且刚性耦合的膜，其频移与单位面积质量成正比。石英密度和剪切模量决定灵敏度。

#### 电流有两条支路

$$
Y(\omega)=i\omega C_0+\frac{1}{R_m+i(\omega L_m-1/(\omega C_m))}
$$

电流既能给并联电容充电，也能驱动运动支路。拟合复电流的两个分量，才能把并联通道与串联共振分开。

#### 半宽与耗散约定

$$
\Gamma=\frac{R_m}{4\pi L_m},\qquad D=\frac{2\Gamma}{f_s}
$$

这里的半宽是电导半功率全宽的一半。耗散因子取这个欠阻尼BVD模型的共振品质因数倒数。

### 常见难点

#### 频率低了就是质量多了

**容易误解** 任何频率下降都能套同一个灵敏度。

**正确理解** 液体拖曳、柔顺运动与温度也会移动共振。样品模型和空白必须支持质量换算。

#### 电流最大的地方就是机械共振

**容易误解** 直接找总导纳幅值最高点。

**正确理解** 并联电容会改变总幅值。要把它与运动支路一起拟合，才能找到串联共振。

### 动手实验

1. 01

   #### 拖动真正的频率旋钮

   拖动信号源旋钮，让驱动频率穿过共振。

   **你会看到：** 驱动频率立即变化，剪切振幅与电流都来自同一个BVD电路。

2. 02

   #### 保存涂膜扫描

   比较“刚性薄膜”和“更多刚性膜”。

   **你会看到：** 均匀惯性负载增大，拟合中心下移，低损耗线宽几乎不变。

3. 03

   #### 没镀膜，先接触水

   选择“裸晶片接水”，再选“更黏的液体”。

   **你会看到：** 中心和线宽同时改变。本干质量估计器保留这两项观测，停止给出质量值。

4. 04

   #### 看柔顺连接怎样改变响应

   选择“柔顺连接”。

   **你会看到：** 弹簧与阻尼连接改变薄膜跟随程度，并消耗振动能量。一对频率和线宽不能唯一确定全部膜性质。

5. 05

   #### 保留温度参考

   先采集独立标准和洁净晶片干空白温度组，再保存样品。

   **你会看到：** 每次扫描保留原标准。三个空白温度只在覆盖区间内去除这里给定的二次温漂。

物理结论

先把频率和损耗一起看，再判断表面增加了什么。

## 相关实验与文章

物理仪器怎样测量 · 阅读路径

### 物理仪器怎样测量

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **石英晶体慢了，怎样判断它是否变重了**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/instruments/quartz-microbalance/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)