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title: "量子势阱能谱台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "把阱压窄，能量会升高多少？无限深阱的能量与宽度的平方成反比：宽度减半，每个能级升到原来的四倍。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/quantum-well-spectroscopy/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q009 · 塑形、制备、测量

# 量子势阱能谱台

**把阱压窄，能量会升高多少？** 无限深阱的能量与宽度的平方成反比：宽度减半，每个能级升到原来的四倍。阱变窄时，所有束缚能级都会升高，最低两级的间隔也跟着变大。

拖动阱壁，制备束缚能级，采集能谱。先设计一个能隙，再分别记录最低两个态的能量，用这些记录估计能隙。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型在正弦基底上求解一维 Schrödinger 方程。有限阱外面套着一个数值外盒，阈值以上的盒态不算束缚态。能量读数按理想投影测量模拟，再加上 Gaussian 探测噪声，不是光学吸收谱。

采样证据与模型检验

模拟独立制备

## 用两组记录测量能隙

蓝条是记录到的能量，下方另一条刻度标出模型能级。能隙估计只把两个已知制备的样本均值相减，附一个标准误，不读取模型能隙。混合态的记录不带隐藏的能级标签。

实测最低能隙

$\text{—}$

模型束缚态数 / 展示态数

$\text{—}$

所选态外盒边缘概率

$\text{—}$

基底与边界检验

$\text{—}$

有限方阱与弧形阱的数值盒向每侧阱壁外延伸八个单位，弱束缚态可能偏移或漏掉。仅低于阈值的态计为束缚态，最低八态可制备。无限阱的盒壁为物理边界。矩阵残差很小不代表连续空间误差很小。

来源：[MIT 8.04 · 11](https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/a565b327f85c7721b18f1074dbd69ede_MIT8_04S16_LecNotes11.pdf) · [Feynman III · 8](https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_08.html)

物理教程

## 建立束缚态能谱

**背景** 把粒子关进势阱，它能处的空间态就变了。

**为什么值得理解** 一边是你能改的势能，一边是真正能用来估计的记录，这个实验把两者连起来。

先抓重点

- **核心问题**: 能设计并测出指定能隙吗？
- **一句话直觉**: 数值算出的态、模型参考和测量结果，各有各的角色，不能混为一谈。

### 核心数学模型

#### 无量纲单位

$$
X=x/\ell,\quad \mu=m/m_*,\quad \mathcal E=Em_*\ell^2/\hbar^2,\quad \tau=\hbar t/(m_*\ell^2)
$$

先选定参考质量和长度。控件、坐标轴和 CSV 都用这些单位；双势阱的质量比固定为一。

#### 正弦基底近似

$$
u_j(X)=\sqrt{2/L}\sin\!\left[\frac{j\pi(X+L/2)}{L}\right],\quad H_{jk}=\frac{j^2\pi^2}{2\mu L^2}\delta_{jk}+\int u_jVu_k\,dX
$$

保留下来的正弦模全部参与演化，势能矩阵的积分用解析式计算。显示的矩阵残差只检验本征求解器，不反映基底截断或边界带来的误差。

#### 有限方阱与弧形阱

$$
V_{\rm square}(X)=\begin{cases}0,&|X|<w/2\\V_0,&|X|\ge w/2\end{cases},\qquad V_{\rm curved}(X)=\min\!\left[V_0,\frac{4V_0X^2}{w^2}\right]
$$

能量从阱底算起。只有低于外部势能的本征值才算束缚态。数值外盒在两侧阱壁外各延伸八个单位；靠近阈值的态，要检查外盒够不够大。

#### 无限深阱的精确能级

$$
\mathcal E_n=\frac{(n+1)^2\pi^2}{2\mu w^2},\quad n=0,1,\ldots
$$

这里硬壁是真实的物理边界，正弦基底对图中的低能级是精确的。阱加宽或质量变大，能级都会降低。编号零是基态。

#### 有限阱的匹配条件

$$
k\tan(kw/2)=\kappa\quad\text{or}\quad-k\cot(kw/2)=\kappa,\qquad k=\sqrt{2\mu\mathcal E},\ \kappa=\sqrt{2\mu(V_0-\mathcal E)}
$$

要求波函数和它的导数都连续，就得到偶、奇两个分支。这些连续空间的方程可以独立检验数值能谱。

#### 能量记录

$$
Y_j=\mathcal E_n+\eta_j,\quad \eta_j\sim\mathcal N(0,\sigma_E^2),\qquad \widehat{\Delta E}=\overline Y_1-\overline Y_0
$$

只制备一个选定的态时，能级是已知的。等权非相干混合从最低的四个可用态里抽样，但记录里不写每次来自哪个能级。读数噪声来自理想探测器模型，不是自然线宽。

#### 能隙估计的采样误差

$$
\mathrm{SE}(\widehat{\Delta E})=\sqrt{\frac{s_0^2}{N_0}+\frac{s_1^2}{N_1}}
$$

两种已知制备各需要至少两条记录。这个标准误不包含数值误差和标定误差。设计目标是能隙 0.70，偏差在百分之五以内。

### 常见难点

#### 数值外盒不是无限直线

**容易误解** 每个离散数值能量都是束缚态。

**正确理解** 有限阱只束缚低于外部阈值的态。基底和外盒要分别检查。

#### 多采样修不好模型

**容易误解** 采样噪声是唯一误差来源。

**正确理解** 有限基底、人为边界、没有纳入的探测物理，都要各自检验。

### 动手实验

1. 01

   #### 调整阱形

   拖动阱壁，比较有限、无限与弧形势阱。

   **你会看到：** 能级间隔和波函数尾部的变化各不相同。

2. 02

   #### 测量能隙

   测量最低两态，并采集混合态能谱。

   **你会看到：** 事先知道制备的是哪个态，估计能隙就用不着隐藏标签。

3. 03

   #### 检查基底

   选择高能态，并对照更大基底。

   **你会看到：** 边界越陡，可能需要多得多的模式。

物理结论

数值截断和采样误差要分开检验。

## 相关实验与文章

凝聚态物理 · 阅读路径

### 控制电流与光的材料

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **两种半导体的界面怎样留住电荷和光**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/condensed-matter/semiconductor-heterostructures/)
2. [实验 **半导体激光二极管** 看载流子积累后激光怎样亮起](https://sandboxphysics.com/zh/labs/semiconductor-laser-diode/)
3. [实验 **异质结注入** 异质结注入](https://sandboxphysics.com/zh/labs/heterojunction-injection/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)