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title: "量子台球互动实验｜Sandbox Physics"
description: "球会反弹，波会干涉。 把量子波包送进球场。改变边界，放入障碍，看反射如何刻出新的干涉地形；再从同一个波函数中采集一次次位置读出。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/quantum-wave-billiards/"
last_modified: "2026-10-18"
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物质波 / 边界设计

# 量子台球

把量子波包送进球场。改变边界，放入障碍，看反射如何刻出新的干涉地形；再从同一个波函数中采集一次次位置读出。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

有限正方晶格上的孤立单粒子，硬壁边界。曲面显示概率振幅，不是液体或粒子轨迹。曲线边界呈阶梯状；不宣称连续极限下的量子混沌结论，也不模拟 STM。

相干波场

波包铺开的有效站点数

$0$

模型 · 空间展开

高度为站点概率的平方根，增益固定。金圈为初始区域。曲面是波函数诊断图，不是运动的物质薄膜。

$\tau=32$

01 / 完整过程

### 波，到底铺开多大范围？

纵轴为有效占据站点数。青线为当前球场；珊瑚虚线为空矩形，发射设置相同。拖动查看。

$\tau=Jt/\hbar$

02 / 相位

### 同样的亮度，可以藏着不同的态。

色相为复相位，亮度为振幅，色标固定。色相原点任意，相对相位才有物理意义。图上方为纵坐标正向。

0

$2\pi$

03 / 空间与时间

### 把每次反射留在图上。

横向为从左到右的晶格列；纵向为时间，顶端 0、底端 64。颜色为模型位置边缘概率，使用固定平方根色标。

04 / 位置读出

### 一次制备，一个落点。

仅使用记录位置计数，除以总试次；采集前为空。金色区域固定，仅凭位置不能测得量子态重叠。

从波函数中抽样

## 把一个个落点，累积成图案。

0 / 8000

每次读出都来自演化到选定时刻的独立新制备。理想晶格位置测量，保留全部试次。模拟种子固定，重置可复现。

金圈内记录比例

$\text{—}$

95% Wilson 区间

$\text{—}$

金圈内模型概率

$\text{—}$

有效占据站点数

$\text{—}$

### 计数，是否跟上了波形？

金柱为横向位置记录频率，青线为模型边缘概率。纵轴为线性概率；晶格列编号从 0 到 63。

最近 20 条记录 · CSV 导出全部

| 试次 | $x/a$ | $y/a$ | 金圈内 |
| --- | --- | --- | --- |

模型、单位、数值诊断与来源

$$
H_0/J=4I-\sum_{\langle i,j\rangle}(|i\rangle\langle j|+|j\rangle\langle i|),\qquad\tau=Jt/\hbar
$$

有限正方晶格，间距 a、均匀跃迁 J、无相互作用。移除外部和障碍站点，边界处对角元仍为四，对应离散 Dirichlet 硬壁。定量结论限于此有限晶格；连续系统解释还需要独立的网格收敛检验。

$$
\psi_j(0)=C\exp\!\left[-\frac{(x_j/a+10)^2+(y_j/a+4)^2}{25}\right]e^{0.9i[(x_j/a+10)\cos\theta+(y_j/a+4)\sin\theta]}
$$

截断高斯波包仅在制备时归一化一次。横坐标向右、纵坐标向上；角度从横轴正向逆时针计。圆半径为 18；体育场两半圆中心横坐标为负 9 和正 9；矩形半宽 27、半高 18。障碍中心在 (4, 0)，长度均以晶格间距计。

$$
F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2,\qquad N_{\mathrm{eff}}=\frac{(\sum_jp_j)^2}{\sum_jp_j^2}
$$

金圈是以初始中心为圆心、半径四的区域。圈内位置计数与依赖相位的态保真度不同。颜色在站点概率 0.025 时饱和；场景高度为概率平方根的 24 倍。时空图在横向边缘概率 0.2 时色彩饱和。显示增益不改变演化或计数。

指数作用使用范数限制的子步，不重新归一化。不含环境、损耗、连续极限外推、混沌指数或热力学结论。抽样使用固定伪随机种子；区间仅反映试次不确定性。

$0$

[Doncheski et al. (2003) · Wave packets in two-dimensional quantum billiards](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0307070)

[Wisniacki et al. (2001) · Sensitivity to perturbations in a quantum chaotic billiard](https://arxiv.org/abs/nlin/0111051)

物理教程

## 量子台球

**背景** 把量子波包送进球场。改变边界，放入障碍，看反射如何刻出新的干涉地形；再从同一个波函数中采集一次次位置读出。

**为什么值得理解** 沿着同一个量子态，走完一次因果实验。

先抓重点

- **核心问题**: 球会反弹，波会干涉。
- **一句话直觉**: 硬边界改变振幅的传播方向；相位决定反射后的干涉。

### 核心数学模型

#### 演化同一个态

$$
|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle
$$

所有曲面、诊断和抽样位置都来自此态。

#### 比较完整量子态

$$
F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2
$$

模型保真度包含相位；它不是起点附近的位置计数比例。

### 常见难点

#### 立体波形是诊断图

**容易误解** 粒子沿着一张物质曲面运动。

**正确理解** 粒子限于二维晶格；高度使用固定显示增益编码概率平方根。

#### 有限模型

**容易误解** 这些图像证明量子混沌或时间箭头。

**正确理解** 有限正方晶格上的孤立单粒子，硬壁边界。曲面显示概率振幅，不是液体或粒子轨迹。曲线边界呈阶梯状；不宣称连续极限下的量子混沌结论，也不模拟 STM。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看原因

   依次选择三个预设，再拖动完整时间轴。

   **应该观察到：** 边界形状和障碍改变反射后的干涉图案。

2. 02

   #### 看相位

   切换相位着色，并检查球场下方的相位图。

   **应该观察到：** 色相依赖相位约定；空间相位差有意义，整体色相没有。

3. 03

   #### 采集证据

   采集位置、定格实验并导出全部试次。

   **应该观察到：** 记录频率趋近模型密度，却不能揭示全部相位。

物理结论

有限正方晶格上的孤立单粒子，硬壁边界。曲面显示概率振幅，不是液体或粒子轨迹。曲线边界呈阶梯状；不宣称连续极限下的量子混沌结论，也不模拟 STM。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

预测结果、采集计数，从一个量子比特走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再与采集到的计数频率比较。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)