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title: "量子相位估计互动实验｜Sandbox Physics"
description: "量子相位估计每多读出一位，演化要多做多少？翻一倍。每多一个计数比特，最长的受控演化就加倍。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/quantum-phase-estimation/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q046 · 相位钟 / 有限精度

# 量子相位估计

**量子相位估计每多读出一位，演化要多做多少？** 翻一倍。每多一个计数比特，最长的受控演化就加倍。逆 Fourier 变换把概率集中到离真实相位最近的格点；真实相位若落在两个格点之间，结果仍会散到相邻几个答案上。

在相位钟上设定相位，选好计数寄存器的位数，看受控演化在上面写出一组相位。逆 Fourier 变换把这组相位变成一个能测出来的数。采集直方图，再比较得到的精度和花掉的总演化次数。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

用经典计算机模拟一个给定的对角单量子比特酉算符，以及二到六个量子比特的计数寄存器。两个本征态的相干叠加，在计数读出里表现为混合分布。模型包含两种误差：系统相位偏差，以及各位独立的读出翻转。钟面指针表示相位，不是空间运动；本页也不展示运行时间上的加速。

证据与查询次数

模拟测量记录

## 重复读出的数字

采集后查看记录。

彩色柱和点来自记录，灰色细标记是计入当前误差设置的模型。误差棒是输出比例或成功率的逐点 95% Wilson 区间。它不是相位置信区间，也不是同时置信带；看着数据决定何时停止时，它也不再有保证。

当前记录中出现最多的相位格点

$\text{—}$

当前位数的试次数

$\text{—}$

全部记录的单位演化次数

$\text{—}$

出现最多的格点只由计数决定。样本越多，频率越稳定，但寄存器网格不会变。没有单独的校准，就无法把偏差和本征相位区分开；输入含两个本征态时，可能出现两个峰。

从可导出的试次重算

| 位数 | 试次 | 众数整数 | 单位演化次数 |
| --- | --- | --- | --- |

最近 12 次；CSV 保留全部试次

| 试次 | 设置 | 报告比特串 | 整数 | 电路查询 |
| --- | --- | --- | --- | --- |

物理教程

## 把相位图样变成可测的整数

**背景** 相位转一整圈就回到原处。受控演化把本征相位变成计数寄存器上的相对相位，再由干涉读出来。这里的酉算符是一个给定的对角矩阵，有两个正交本征态。

**为什么值得理解** 直方图能直接看出精度有限。比较不同的计数位数，还能看到高次受控幂里藏着多长的相干演化。

先抓重点

- **核心问题**: 格点数翻倍，真的只要多做一次基本演化吗？
- **一句话直觉**: 每多一个计数位，最长的受控演化就翻一倍。Fourier 干涉把概率集中到相位附近的格点上；相位如果落在格点之间，读数仍可能有好几个。

### 核心数学模型

#### 酉算符与输入态

$$
U=\operatorname{diag}(e^{2\pi i\theta_0},e^{2\pi i\theta_1}),\quad |\psi\rangle=\sqrt w|0\rangle+\sqrt{1-w}|1\rangle
$$

两个输入振幅是相干的。只测计数寄存器，分不出这个叠加态和权重相同的非相干混合。

#### 受控幂

$$
|x\rangle|j\rangle\longmapsto e^{2\pi ix(\theta_j+\delta)}|x\rangle|j\rangle
$$

整数标记计数基态。每次单位演化都加上同样的偏差，受控幂越高，偏差被放大的倍数就越大。

#### 逆 Fourier 振幅

$$
a_y(\theta)=\frac{1}{L}\sum_{x=0}^{L-1}e^{2\pi ix(\theta-y/L)},\quad L=2^m
$$

对每个目标分支做一次精确的有限 Fourier 变换。电路图里的控制位从最低有效位开始数，输出比特串则把最高有效位写在前面。

#### 对目标寄存器取迹

$$
P(y)=w|a_y(\theta_0+\delta)|^2+(1-w)|a_y(\theta_1+\delta)|^2
$$

目标态彼此正交，它们的寄存器又没有被测量，交叉项就消失了。出现两个峰，说明有两个相位，并不是测到了介于两者之间的某一个相位。

#### 分辨率与总演化次数

$$
\Delta\theta=2^{-m},\qquad C_U=\sum_{j=0}^{m-1}2^j=2^m-1
$$

这里把酉算符当作黑箱，数单位演化一共重复了多少次。编译后的高次幂门可能有不同的实现成本；这里不估算硬件时间。

#### 取出现最多的格点

$$
\widehat y\in\operatorname*{arg\,max}_y N_y,\quad\widehat\theta=\widehat y/2^m
$$

出现次数最多的格点只根据报告的结果来定，并列的就保持并列。它不是连续相位的最大似然拟合，也不给出相位的置信区间。

### 常见难点

#### 钟面不是粒子

**容易误解** 指针代表量子比特在空间里转动。

**正确理解** 指针画的是数学上的相位。每一行代表一步操作，不是粒子轨迹。

#### 相位会绕回

**容易误解** 相位为零和相位为一整圈，差得很远。

**正确理解** 二者对应同一个本征值。相位靠近这个边界时，最后一个格点和第一个格点都可能出现概率。

#### 模型曲线与采样

**容易误解** 灰色模型曲线是从探测器的点击数据重建出来的。

**正确理解** 灰色曲线按当前设置由模型算出。彩色柱和众数估计只用采样结果。比例的误差棒并不能限定未知相位的范围。

### 动手实验

1. 01

   #### 先落在格点上

   选择恰好落在格点，在无读出误差时采集。

   **你会看到：** 默认本征相位能用二进制精确表示，所有输出都一样。

2. 02

   #### 移到格点之间

   选择处于两个格点之间，分别用 2–6 位采集并对照。

   **你会看到：** 格点变细，峰就变窄，单位演化次数却在增加。位数不变时多采样，格点也不会变细。

3. 03

   #### 制备两个本征态

   选择两个本征相位，改变第一态权重。

   **你会看到：** 两个峰的高度跟着变。每次测量从本征谱里取出一个相位，不会给出它们的平均值。

4. 04

   #### 区分精度与偏差

   选择系统偏差，再增加位数。

   **你会看到：** 分布变窄了，中心却仍可能落在有偏的相位上。多加几位并不能校准酉算符。

物理结论

寄存器精度有限、样本有限带来的噪声、初态权重和系统相位偏差，是彼此不同的限制。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)