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title: "量子谐振子态工作台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "概率分布不动，能量就为零吗？不为零。能量本征态的概率密度确实不随时间变，但动量仍有弥散，连基态也留着半个量子的零点能。"
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last_modified: "2026-10-27"
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Q010 · 本征态、叠加、位移

# 量子谐振子态工作台

**概率分布不动，能量就为零吗？** 不为零。能量本征态的概率密度确实不随时间变，但动量仍有弥散，连基态也留着半个量子的零点能。稳定的分布背后，也没有藏着一条粒子轨道。

制备能量本征态、相邻能级的相干叠加，或者把基态平移。把节点、能级占据和位置记录联系起来看，不给粒子假设一条隐藏的轨道。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

势场是理想的一维谐振势，计算用 Hermite 本征函数和位移基态的精确演化。改变频率等于重新制备一个态，不是突然淬火。能级条画的是能量基底上的权重，位置密度画的是真实空间。

分布记录与时间序列

模拟独立制备

## 一次一个事件，累积出分布

蓝色条为记录频率，灰线为单独的模型密度。时间序列蓝点是样本均值及一个标准误，橙点是样本标准差。它们不是置信区间，也不是粒子轨迹。

当前样本均值与离散度

$\text{—}$

当前实测不确定度乘积

$\text{—}$

网格范数与边缘质量

$\text{—}$

模型超过 32 级的占据尾部

$\text{—}$

Hermite 本征态与位移态演化使用解析形式。位置和 Fourier 动量在长度 64 的 2,048 点网格上采样。占据图合并高能级；显示尾部不会截断位移态演化。

模型来源：[MIT 8.04](https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2013/pages/lecture-notes/) · [相干态演化](https://ocw.mit.edu/courses/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/resources/lecture-14-quantum-dynamics-cont/)

物理教程

## 静止概率云也有能量

**背景** 谐振阱里的定态是离散的，波函数带有节点；就连基态，能量也不为零。

**为什么值得理解** 两个能级叠加后，相对相位随时间变化；把基态平移，整片概率云就跟着移动。

先抓重点

- **核心问题**: 密度静止，动能就是零吗？
- **一句话直觉**: 密度一动不动，动量照样有一定的分布，能量也不为零。

### 核心数学模型

#### 无量纲单位

$$
X=x/\ell,\quad P=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)
$$

先选定长度尺度和粒子质量。画面上的数字都用这些无量纲变量；代码里质量和约化 Planck 常数都取单位值。

#### 谐振阱的 Hamiltonian

$$
H=\tfrac12P^2+\tfrac12\omega^2X^2,\quad E_n=\omega(n+\tfrac12)
$$

在显示的整个振幅范围内，势场都严格是二次的。改变频率就会重新制备。能级等间距、基态能量不为零，都是这个理想 Hamiltonian 的性质。

#### 能量本征函数

$$
\phi_n(X)=\frac{(\omega/\pi)^{1/4}}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\sqrt\omega X)e^{-\omega X^2/2}
$$

用归一化的 Hermite 递推算出零到九级。本征态随时间只改变全局相位，所以密度不动；但动能和势能都不为零。

#### 相邻能级干涉

$$
\psi=\sqrt{1-w}\,\phi_n e^{-iE_n\tau}+\sqrt w\,e^{i\varphi}\phi_{n+1}e^{-iE_{n+1}\tau}
$$

改变相对相位，位置空间里的干涉图样就跟着移动。理想演化中，占据权重不变。能级条并不代表阱里的位置。

#### 位移基态

$$
\langle X\rangle=a\cos(\omega\tau),\quad\langle P\rangle=-a\omega\sin(\omega\tau),\quad\Delta X=\frac1{\sqrt{2\omega}}
$$

质心像经典振子一样来回运动，波包宽度保持不变。这是系综平均，不是某个隐藏点粒子的路径。解析的位移态不会截断在显示的能级上。

#### 相干态的能级占据

$$
P_n=e^{-\bar n}\frac{\bar n^n}{n!},\quad\bar n=\frac{\omega a^2}{2}
$$

前九级各画一根条，更高的能级合并在一起。超过 32 级的尾部模型也记着，可见的条形不重新归一化。

#### 分别制备

$$
\bar q=\frac{1}{N}\sum_j q_j,\qquad s_q^2=\frac{\sum_j(q_j-\bar q)^2}{N-1}
$$

每个事件都重新制备，位置记录和动量记录来自不同的样本组。标准误估计样本均值有多不准；样本离散度估计制备态本身的不确定性。

### 常见难点

#### 一个粒子，还是一片云？

**容易误解** 移动的密度就是一颗粒子已知的轨道。

**正确理解** 概率云表示制备态的分布。每个记录点都来自一次新的制备，不是一路追踪同一个粒子。

#### 多采样能修好什么

**容易误解** 增加采样就能修复所有误差。

**正确理解** 更多采样能压低统计噪声，却修不好网格间距、周期边界、非理想仪器或错误的物理模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 看基态

   回放基态，查看复振幅。

   **你会看到：** 全局相位在转，概率密度却不动。

2. 02

   #### 数节点

   选择“三个节点”，再改变能级和阱频率。

   **你会看到：** 节点数等于本征态的编号；阱频率改变的是空间尺度。

3. 03

   #### 叠加

   叠加相邻能级，改变权重和相位。

   **你会看到：** 密度在动，能级占据却不变。

4. 04

   #### 位移

   位移基态，在九个时刻采样位置。

   **你会看到：** 实测质心来回振荡，概率云始终保有一定宽度。

物理结论

量子态、位置密度和能量基底是三样不同的东西，要分开看。

入门路径 · 第 4 / 6 步

## 从一次测量开始

[下一步 → **路径标记与量子擦除** 给两条路径加上标记，再把路径信息擦掉。条纹会在全部数据里重新出现，还是只在分组后的数据里出现？ 比较 · 25 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)