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title: "量子气体占据互动实验｜Sandbox Physics"
description: "同一个势阱降温，哪种粒子会挤进最低能级？玻色子。降温时它们大量挤进最低能级；费米子每个态只能放一个，只好从下往上一级级填；可区分粒子介于两者之间。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/quantum-gas-occupation/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q053 · 冷却、计数、对照

# 量子气体占据

**同一个势阱降温，哪种粒子会挤进最低能级？** 玻色子。降温时它们大量挤进最低能级；费米子每个态只能放一个，只好从下往上一级级填；可区分粒子介于两者之间。总粒子数固定，一个能级多占了，别的就少了，要对整体的占据方式抽样，不能一级一级单独算。

准备一小团粒子数固定的理想气体，每次记下所有能级各有几个粒子。再降温，比较玻色子、费米子和独立的可区分粒子。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

气体是一维谐振阱中的有限正则系综，有六十四个非简并模式。占据数用理想投影测量读出，粒子质量取一个固定的假想值。模型不含相互作用和热化动力学，也不声称实现了有限温度下的体相凝聚转变。

02 / 每一行都来自一次重新制备

## 每份气体给出一整行占据数。

$j,\quad \overline n_j$ · 在当前设置下，蓝色是当前样本，橙色是最近保存的另一组样本。

显示单独的模型预测

$\text{—}$

近期原始占据：前十六级及尾部总和。每条完整记录都保持选定的总粒子数。

03 / 改变一个设置

## 冷却改变分布，每一次记录都看得到。

$k_BT/(h\nu),\quad \overline n_0/N$ · 拖动查看某个设置；也可以用滑块和键盘。

误差线是由各次制备之间的方差估出的近似百分之九十五逐点区间。每个温度都用一百份独立制备的平衡气体，不是同一份气体逐渐冷却的过程。

模型检查 · 与记录分开

## 填充能级，也改变云团尺寸。

$x/\mathrm{\mu m},\quad \rho(x)/\mathrm{\mu m}^{-1}$

蓝：所选统计；灰虚线：粒子数、温度相同的可区分对照。密度是模型期望，不是由占据记录重建的图像。

$\text{—}$ $\text{—}$

这是有限的一维理想气体，基态占据是平滑过渡的，不能从图里读出体相临界温度。

04 / 留下一组对照

## 把制备和证据一起保存。

最多八组固定样本，恢复即可查看原始设置；保存后继续采集会新建样本。CSV 保留每次试次与所有零通道。

单位、近似与一手来源

一维谐振子能谱取六十四个模，粒子数严格固定，横向运动冻结。用正则系综动态规划抽样完整的 Fock 占据；可区分粒子对照计入多项式排列重数。读出模块代表在能量本征基上的理想投影测量，不模拟吸收成像，也不是经过标定的实验分选器。云团是模型的单体密度；各种统计都用同一个假想质量：四十个原子质量单位。约化温度不变时，把势阱收紧会改变实际温度和长度尺度，能级占据却不变。

有限粒子数带来的涨落来自基态分布。把六十四模和九十六模的结果相比，可以看出截断的影响，这一项与试次误差分开报告。模型不含相互作用、碰撞、制备时间、蒸发，也不含真实逐模探测的误差。

[Tong · Quantum Gases, Sections 3.5–3.6](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/statphys/statmechhtml/S3.html) · [Xiong et al. · Canonical statistics](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0111125)

物理教程

## 量子气体占据

**背景** 准备一小团粒子数固定的理想气体，每次记下所有能级各有几个粒子。再降温，比较玻色子、费米子和独立的可区分粒子。

**为什么值得理解** 保持制备不变，采集许多次独立实验；然后一次只改一个因素，比较保存下来的结果。

先抓重点

- **核心问题**: 同一个势阱降温，哪种粒子会挤进最低能级？
- **一句话直觉**: 粒子总数固定，各能级的占据就互相牵连。必须对完整构型整体采样，不能按每个能级的平均占据分别抽取。

### 核心数学模型

#### 固定粒子数下的平衡分布

$$
P(\mathbf n)=Z_N^{-1}\exp[-\sum_j j n_j/\tau],\quad \sum_j n_j=N,\quad \tau=\frac{k_BT}{h\nu}
$$

玻色子每个模式可以放任意多个粒子，单组分费米子每个模式最多一个。这是有限的正则分布，不按巨正则系综对各能级独立采样。

#### 可区分粒子作对照

$$
P_{\rm MB}(\mathbf n)=\frac{N!}{\prod_j n_j!}\prod_j p_j^{n_j},\quad p_j=\frac{e^{-j/\tau}}{\sum_k e^{-k/\tau}}
$$

独立粒子的总数同样严格守恒，只是排列简并度的算法和玻色子不同。

#### 由各模式占据算出的云团密度

$$
\rho(x)=\sum_j\langle n_j\rangle|\phi_j(x)|^2,\quad a=\sqrt{\frac{\hbar}{2\pi m\nu}}
$$

云团由谐振子模式叠加而成，所有统计对照都取四十原子质量单位的质量。记录的数据是理想的逐模占据，不是照片。

### 常见难点

#### 怎样理解结果

**容易误解** 一个小冷云就证明了体相凝聚转变。

**正确理解** 在这个有限的一维系统里，占据是平滑过渡的；这里也没有拟合热力学临界温度。

#### 哪些是数据，哪些是示意

**容易误解** 发光云团就是测量数据。

**正确理解** 装置只是示意。蓝色记录图和原始 CSV 来自采样结果，模型参考另有标注。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测

   预测：把八个费米子冷却下来，它们能不能都进最低能级？

   **你会看到：** 预测是等着检验的猜想，不是拟合出来的结果。

2. 02

   #### 记录对照

   记录冷玻色子并保存，再记录冷费米子。完整构型和平均占据都要看。

   **你会看到：** 低温下，更多玻色子挤进基态。费米子受 Pauli 原理限制，只能逐级填充，云团依然较宽。

3. 03

   #### 检验适用范围

   先升温；再固定约化温度，改变阱频。分清哪些是占据真的变了，哪些只是实际长度和温度单位变了。

   **你会看到：** 零结果和成功探测都要保存、导出。来源文档把采样不确定性和近似误差分开处理。

物理结论

气体是一维谐振阱中的有限正则系综，有六十四个非简并模式。占据数用理想投影测量读出，粒子质量取一个固定的假想值。模型不含相互作用和热化动力学，也不声称实现了有限温度下的体相凝聚转变。

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