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title: "追逐与拦截互动实验｜Sandbox Physics"
description: "追上移动的目标，该瞄向哪里？朝未来的相遇点瞄准。"
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M004 · 该向哪里追

# 追逐与拦截

**追上移动的目标，该瞄向哪里？** 朝未来的相遇点瞄准。目标横向移动时，直接追着当前位置跑会不断转弯；提前瞄准能缩短路线。转向受限、位置报告太旧或目标突然转弯，都可能让拦截落空。

比较直接追踪、提前瞄准与比例导引。拖动目标，限制转向，延迟它的位置报告，再完成直线目标的最短时间拦截任务。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

两个恒速质点在平面内运动，转向率有上限，目标位置报告可延迟。两者中心距离达到给定阈值时结束；机器人外形为示意。不求解碰撞、受力或车辆动力学。

物理教程

## 相遇点在目标前方

**背景** 机器人若一直朝着目标现在的位置转，追踪路线会弯起来。提前瞄向未来的相遇点，可以少走一段路。

**为什么值得理解** 先用三种规则追同一个目标，再让目标转弯或延迟它的位置报告。路线短，还得转得过去。

先抓重点

- **核心问题**: 追得上，靠的是预测得准，还是转得够快？
- **一句话直觉**: 距离不断缩小、视线方向却不变时，双方正朝着相遇走；这与一直对准目标不同。

### 核心数学模型

#### 恒速运动与转向上限

$$
\dot{\mathbf p}=v_p\begin{pmatrix}\cos\psi\\\sin\psi\end{pmatrix},\qquad |\dot\psi|\le\Omega_p
$$

机器人保持速率，只改变方向。转向率上限是运动学限制，不求解电机力矩或轮胎受力。

#### 从延迟的位置报告求视线变化

$$
\begin{aligned}\mathbf r_o&=\mathbf q(t-\tau)-\mathbf p(t)\\\dot\lambda_o&=\frac{r_{o,x}\dot r_{o,y}-r_{o,y}\dot r_{o,x}}{|\mathbf r_o|^2}\end{aligned}
$$

目标报告可以滞后，自身姿态取当前值。三种反馈规则共用这些报告，不补偿信息年龄；目标在出发前的轨迹也已定义。

#### 恒速机器人中的比例导引

$$
\begin{aligned}V_c&=-\frac{\mathbf r_o\cdot\dot{\mathbf r}_o}{|\mathbf r_o|}\\a_\perp&=N\max(V_c,0)\dot\lambda_o\\\dot\psi&=\mathrm{clip}_{[-\Omega_p,\Omega_p]}(a_\perp/v_p)\end{aligned}
$$

把视线转速组成的标量指令，变成垂直自身速度的加速度，再限制转向率。这是平面简化模型，不包含真实导航系统的传感器、姿态与执行器动力学。

#### 直线目标的最早相遇时刻

$$
\begin{aligned}|\mathbf r_0+\mathbf v_tT_*|&=v_pT_*+\rho\\\psi_*&=\arg(\mathbf r_0+\mathbf v_tT_*)\end{aligned}
$$

取最早的非负解。在此之前，即使全速走直线，也到不了目标的捕获圆。目标保持匀速直线运动、初始信息无延迟且可自由选择出发航向时，直线路线达到这个下限。

### 常见难点

#### 始终对准，未必路最短

**容易误解** 最短路线就是一直朝目标现在的位置跑。

**正确理解** 目标横向运动时会离开那个位置。瞄准未来的相遇点，才把它还要走的路算进去。

#### 预测对了，还要转得过去

**容易误解** 知道相遇点，就一定追得上。

**正确理解** 机器人若一开始朝错方向，转过去还需要时间。解析最短时间方案允许预先选好初始航向。

#### 准确的位置也会过时

**容易误解** 位置报告没有误差，就足够了。

**正确理解** 旧报告可以准确地描述过去，目标却还在走。报告年龄也会影响当前该怎么转。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看直接追踪

   选“追着现在跑”，再点“重放”。

   **你会看到：** 金色目标横向移动，蓝色路线随之弯曲。

2. 02

   #### 向前瞄准

   选“向前瞄准”，保持速率和转向上限相同。

   **你会看到：** 机器人先向目标前方的相遇点修正，路线与捕获用时都改变。

3. 03

   #### 完成最短路任务

   选“直线目标最短路”，展开预测详情。

   **你会看到：** 机器人按解析求出的方向出发，捕获用时在数值误差内达到直线目标的理论下限。

4. 04

   #### 让目标转弯

   选“目标转弯”，再调目标转向率。

   **你会看到：** 比例导引按视线转速持续修正；直线目标的最短时间结论不再适用。

5. 05

   #### 让信息慢下来

   选“迟来的位置”，增大目标报告延迟。

   **你会看到：** 控制器使用旧坐标转向，真实目标仍继续运动。

6. 06

   #### 保持条件相同再比较

   展开策略模拟比较，保持物理设置不变。

   **你会看到：** 三种反馈规则共用初始航向、速率、转向限制和延迟报告；未捕获的试验只给出最小距离。

物理结论

直线目标的最短路线可以预先选好出发航向。反馈追踪还得处理转向能力和信息延迟。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)