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title: "投影仪光学系统互动实验｜Sandbox Physics"
description: "为什么加大光源不一定让投影更亮，屏幕斜放还会变模糊？瓶颈在投影镜头。"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 036 · 成像、仪器与视觉系统

# 投影仪光学系统

**为什么加大光源不一定让投影更亮，屏幕斜放还会变模糊？** 瓶颈在投影镜头。它能收下的光有上限，叫 étendue，大致是光源面积乘以光线张开的角度。光源再大，多出来的光角度太斜，进不了镜头，只能浪费掉。屏幕一倾斜，就斜穿过清晰成像的那个平面，边缘落在焦面前后，不光被拉成梯形，还会变模糊。

追踪有限光源依次经过聚光镜、编码 LCD、有限投影光瞳和倾斜屏幕。由光线积分得到的屏幕纹理显示对焦和梯形畸变；圆形角域的精确交叠和面板上的数值积分显示视场耦合与 étendue 饱和。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用理想近轴透射式 LCD 和有限光源几何，不是商用 DLP 投影机的处方。不考虑衍射、像差、复眼匀光、偏振、数字梯形校正和标定的流明输出。

物理教程

## 检验投影仪光学系统的物理过程

**背景** 投影仪照亮一块尺寸有限的 LCD 面板，镜头把面板成实像投到屏幕上。移动 LCD，清晰像所在的距离就跟着变，关系是 $\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{v}$。屏幕放在别处，接到的就是离焦的模糊像。屏幕本身尺寸固定，不会为了装下投影而变大。

**为什么值得理解** 为什么加大光源不一定让投影更亮，屏幕斜放还会变模糊？

先抓重点

- **核心问题**: 为什么加大光源不一定让投影更亮，屏幕斜放还会变模糊？
- **一句话直觉**: 屏幕亮度受两样东西限制：光源照明覆盖的角度范围，和投影镜头的通光孔径。近轴模型中 $G_a\le\min(G_s,G_{\mathrm{capacity}})$。辐亮度不变时，光源大到一定程度，再加大只会把更多光浪费在镜头外面，被接收的光通量不再增加。照明太窄也不行，面板离轴的部分可能照不到。

### 核心数学模型

#### LCD 位置、画面宽度与投射比

$$
s=\frac{fv}{v-f},\quad W_0=\frac{wL}{s},\quad \mathrm{TR}_0=\frac{s}{w}
$$

LCD 宽度固定。只有屏幕与镜头垂直、像又正好对焦在屏上时，画面宽度才等于熟悉的远场公式减去一项有限物距修正。对焦和投射距离仍然分开调。

#### 光源位置怎样变成照明角度

$$
\mathbf u_{\mathrm{after}}=-\frac{\mathbf y_s}{f_c},\quad q_s=\frac{r_s}{f_c},\quad G_s\simeq wh\pi q_s^2
$$

有限光源放在聚光镜前焦面上，光源上每一点出聚光镜后都变成一束平行光。角斜率在近轴下近似代替数值孔径，并不是严格的正弦定义。聚光镜做得足够大，不会截掉允许范围内的照明角度。

#### 面板上每一点有多少光进入镜头

$$
\Omega_a(\mathbf y)=\frac{A\!\left(\mathcal D(\mathbf 0,a)\cap\mathcal D(\mathbf y,sq_s)\right)}{s^2},\quad G_a\simeq\int_{\mathrm{LCD}}\Omega_a\,\mathrm dA
$$

在投影镜头所在平面，面板上某一点的光锥和镜头通光口是两个圆。两圆交叠的精确面积决定这一点有多少光进入镜头；对整块面板积分，得到总的被接收 étendue。伪彩色面板图显示每一点入射角度中被接收的比例，不是屏幕上的辐照度。

#### 主光线在倾斜屏幕上的落点

$$
y_{\mathrm{screen}}=-\frac{Ly_p}{s\cos\beta-y_p\sin\beta},\quad z_{\mathrm{screen}}=-\frac{Lz_p\cos\beta}{s\cos\beta-y_p\sin\beta}
$$

这些式子给出每条主光线与倾斜屏幕的真实交点。画面上下两边的放大率不同。清晰像面仍垂直于镜头光轴，所以只把画面形状拉正，消除不了光学离焦。

#### 有限孔径下的屏幕辐照度

$$
E(\mathbf x)=\int_{\mathrm{pupil}}\mathcal L(\mathbf y_p)\frac{\cos\gamma_l\cos\gamma_s}{r^2}\,\mathrm dA_l
$$

对屏幕上每一点，都穿过镜头通光口的每个采样点，反向追踪到同一块有限 LCD 和光源。被挡住的光线贡献为零。所有设置共用一个固定的辐亮度参考和增益，所以最亮处可能饱和成白色。这里算的是理想模型中的几何辐照度，不是标定过的流明测量。

### 常见难点

#### 光源越大，投影一定越亮

**容易误解** 发光面做大，投影就更亮；把梯形用数字方式拉正，画面就又清楚了。

**正确理解** 镜头能接收的 étendue 有上限，有效光通量也就有上限。光源太窄，可能填不满各视场点的光束；光源太大，又会溢出镜头孔径。数字校正形状不会移动光学焦面。本模型有意不实现 DLP 微镜和数字梯形校正算法。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：对焦与有限投射距离

   只改投射距离，先别动对焦；再把对焦距离调回屏幕中心。对比 LCD 滑座移动了多少、整个通光口造成的模糊范围，以及屏幕上的实际画面。

   **你会看到：** 光学剖面按毫米放大绘制，上方房间统一按米缩放。青色矩形框出图像卡显示的屏幕中央固定区域。裁剪不改变光线坐标、曝光，也不改变屏幕的真实边界。

2. 02

   #### 场景 2：倾斜屏幕与梯形形变

   把屏幕从正角度倾到负角度，梯形方向会反过来。金色线是清晰像面与屏幕的交线，位置由几何决定；屏幕始终保持真实尺寸。

   **你会看到：** LCD 图案是倒着存的，镜头成的倒像投到屏上就成了正的。屏幕卡直接显示这个像，没有另外旋转，也没有用梯形滤镜。

3. 03

   #### 场景 3：照明与 étendue 匹配

   分别扫描光源角斜率和通光半径，读出光源 étendue 与被接收 étendue，再把耦合图和屏幕亮度对照。耦合图不是自动曝光的照片。

   **你会看到：** 屏幕倾斜时，模糊光斑的质心不一定落在主光线的落点上。所以宽度读数用单独追踪的主光线，不用模糊光斑的质心。

物理结论

投影仪的亮度、对焦和梯形形变，都来自同一批光线：从有限光源出发，经过面板和镜头通光口，最后落在屏幕上。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)