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title: "原初黑洞与暗物质限制互动实验｜Sandbox Physics"
description: "如果黑洞在恒星出现以前就存在，今天该怎样找？看它们的质量和辐射今天会造成什么效果。"
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last_modified: "2026-11-14"
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# 原初黑洞与暗物质限制

**如果黑洞在恒星出现以前就存在，今天该怎样找？** 看它们的质量和辐射今天会造成什么效果。早期宇宙里少数特别密的区域若塌成黑洞，就会像暗物质一样存在。较轻的仍在蒸发，较重的会让背景星光短暂增亮或吸积气体，最重的会并合并发出引力波。在小行星质量附近，现有限制仍允许它们构成全部暗物质，但至今没有探测到一个。

移动早期密度功率谱的峰和塌缩阈值，看会形成多少黑洞、落在哪些质量，又有哪些观测已经把它们排除。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这个教学模型从原初曲率功率谱里的一个对数正态峰出发。在辐射主导的宇宙中，用高斯窗口平滑重新进入视界时的密度反差，不含转移函数，再用固定阈值的Press–Schechter高斯尾部估计塌缩比例。每个黑洞取视界质量的五分之一。模型没有包含临界塌缩、非高斯尾部、成团、形成后的吸积、蒸发与并合，相对论粒子自由度固定为106.75。观测曲线来自MIT许可的PBHconstraints仓库在固定提交中数字化的已发表单一质量限制。每条线性限制分别通过加权比值来使用，不拼成包络。引力波曲线只作单一质量参照，因为并合率与质量函数不是线性关系。画面中的密度切片是示意：用同一相关函数生成的约束高斯场，在中心放了一个稀有区域。原初黑洞仍是候选对象，并不是已经发现的天体族群。

逐一对照每张线性限制表，都允许。

### 模型：峰值尺度上的塌缩尾部

### 模型：今天的质量函数 $\psi(M)$

### 观测：已发表的单一质量限制（数字化）

- EGR: 蒸发产生的河外光子背景
- SUB: 昴星团望远镜HSC对M31的微引力透镜
- OGLE: OGLE长时标微引力透镜
- acc: CMB对吸积的限制
- LIGO: LIGO–Virgo–KAGRA O3并合率

### 用每条限制给模型加权 $R_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\psi/f_{\max,j}$

具体数值，以及为什么不把曲线合并

- $R_{\mathrm{EGR}}<10^{-4}$
- $R_{\mathrm{SUB}}=0.08$
- $R_{\mathrm{OGLE}}<10^{-4}$
- $R_{\mathrm{acc}}<10^{-4}$
- $R_{\mathrm{LIGO}}<10^{-4}$

每条限制都有自己的假设，所以不把它们拼成一条包络。引力波表只是单一质量参照：并合率取决于黑洞成对的情况，与数目不是线性关系。

数据：PBHconstraints仓库（MIT许可），提交ef2fb03。画面是示意性的场切片，不是数据。

## 稀有的尾部决定会形成多少黑洞

**背景** 早期宇宙里，如果某个区域比周围密得多，它一进入视界就可能直接塌成黑洞。这样的原初黑洞会比任何恒星都早出现。

**为什么值得理解** 只有密度分布里极其稀少的尾部会塌缩，所以早期功率谱的小改动，会让黑洞数量相差许多个数量级。今天的观测再逐段质量去检验这个数量。

- **核心问题**: 为什么峰值只降低几个百分点，黑洞就几乎全没了？
- **一句话直觉**: 塌缩比例位于高斯分布的远端尾部，它的对数与方差成反比；每项观测随后都要对整个质量函数加权比较。

### 核心数学模型

#### 重新进入视界时的方差

$$
\sigma^2(M_H)=\frac{16}{81}\int\mathrm{d}\ln k\,(kR)^4e^{-(kR)^2}\mathcal{P}_\zeta(k)
$$

曲率功率谱给出在视界尺度上平滑后的密度方差。对窄峰来说，方差在峰值波数对应视界质量的两倍处最大。

#### 塌缩比例

$$
\beta=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{\delta_c}{\sqrt2\,\sigma}\right)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sigma}{\delta_c}\,e^{-\delta_c^2/2\sigma^2}
$$

按照Press–Schechter估计，平滑密度反差超过阈值的区域都会塌缩。阈值远在许多个标准差之外时，右边的近似成立。

#### 从质量函数到一条限制

$$
R_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\frac{\psi(M)}{f_{\max,j}(M)}\le1
$$

如果观测量与黑洞数目成线性关系，针对单一质量推出的限制就可以通过这个加权积分，约束一段质量分布。每项观测各算各的比值。

### 常见难点

#### 直接在图上读限制

**容易误解** 只要质量函数在每条限制曲线下方，就是允许的。

**正确理解** 质量函数是每个对数质量区间里的密度，单一质量限制却是总量。两者只能通过每项观测的加权比值来比较。

#### 允许不等于发现

**容易误解** 某段质量没有限制，就说明那里有原初黑洞。

**正确理解** 窗口敞开只说明这些观测还无法排除它们。至今没有确认任何一个原初黑洞。

### 动手实验

1. 01

   #### 降低峰值

   先选“小行星质量，构成全部暗物质”，再选“峰值降低15%”。

   **你会看到：** 黑洞占暗物质的比例下降一百多倍，形成黑洞的质量却几乎不变。

2. 02

   #### 滑进一条限制

   把质量标尺上的手柄往更重的方向拖。

   **你会看到：** 质量函数与昴星团透镜曲线重叠后，它的比值越过1，结论变成排除。

3. 03

   #### 升高阈值

   把金色阈值平面向上拖一点。

   **你会看到：** 区域要达到更高的密度反差，塌缩比例急剧下降，第一张图里的尾部面积随之缩小。

物理结论

原初黑洞来自高斯分布的稀有尾部；观测限制逐项检验整个质量函数，目前只在部分质量范围里还允许它们存在。

## 来源与适用范围

[读课程：从早期塌缩到质量函数限制](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/)

方差与尾部依据Young、Byrnes与Sasaki；丰度依据Sasaki等人；加权比值及其平方和合并依据Carr等人（2017）。Carr、Iovino、Perna、Vaskonen与Veermäe的2026年综述概括了当前限制，也提醒不要拿质量函数直接对照单一质量曲线。

- [Young, Byrnes & Sasaki (2014), arXiv:1405.7023v4](https://arxiv.org/abs/1405.7023v4)
- [Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama (2018), arXiv:1801.05235v1](https://arxiv.org/abs/1801.05235v1)
- [Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe (2017), arXiv:1705.05567v3](https://arxiv.org/abs/1705.05567v3)
- [Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe (2026), arXiv:2601.06024v2](https://arxiv.org/abs/2601.06024v2)
- [粒子数据组（2025），暗物质综述](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-dark-matter.pdf)
- [PBHconstraints数字化限制（MIT），提交ef2fb03](https://github.com/vianvask/PBHconstraints/tree/ef2fb03aa0f6c3fab58e9b23ee64331e88c75a86)

独立核对包括直接的尾部积分、平坦与窄峰功率谱极限、论文给出的参考振幅，以及加权比值的窄分布极限。这些只检验数值，不检验模型略去的物理。

## 相关实验与文章

宇宙最初一秒里的黑洞 · 阅读路径

### 宇宙最初一秒里的黑洞

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **比恒星还早的黑洞，今天该怎样找**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-to-find-black-holes-older-than-stars/)
2. [文章 **早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-an-early-overdensity-becomes-a-black-hole/)
3. [文章 **高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/)
4. [文章 **黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/test-a-mass-spread-against-many-limits/)
5. [文章 **把微引力透镜限制推广到有质量分布的黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/extend-a-microlensing-limit-to-a-mass-spread/)
6. [文章 **怎样读2026年的原初黑洞综述**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/read-the-2026-primordial-black-hole-review/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)