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title: "一维势能景观互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-22"
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M044 · 势能与转折点

# 一维势能景观

**只看势能曲线，能预测粒子怎么运动吗？** 大部分能。在势能图上，按总能量画一条水平线：曲线低于这条线的地方，粒子才去得了，两者相交处就是转折点。谷底弯得多厉害，只决定小振动频率。谷底要是像四次方曲线那样平，弯曲为零，算出的小振动频率也是零，可粒子照样被困在里面，是稳定的。

调节曲率、四次项和倾斜，改变势阱形状。拖动释放点，或在相空间里同时设定位置和速度，再把允许区、精确的转折点和实际周期，与小振动的简谐预测对比。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是一个理想质点，在给定的多项式势能里沿水平导轨运动，所有量用 SI 单位。三维受力探针和标出允许区的色带只是显示辅助，不模拟滚动、实体势垒或执行机构。竖直方向的曲线是能量图，不是真实轨道。灰色轮廓按释放能量画出，青色是已采集的运动。回放时从保存的检查点重新积分。半步长对比最多只做前十秒，能量漂移每个积分步都检查。

物理教程

## 能量图预测整条轨迹

**背景** 势能图告诉你质点在每个位置有多少势能。曲线的斜率给出力，平坦的点就是平衡位置。在总能量处画一条水平线，曲线低于这条线的位置，就是经典质点能到的地方。这条曲线不是轨道：质点沿横轴运动，纵轴表示能量。

**为什么值得理解** OpenStax 大学物理第 8.4 节用势能图判断平衡稳不稳定、质点在哪里转折。这个实验更进一步：可以改势阱形状，在相空间里看运动，用积分算周期，还能看数值积分的能量漂了多少。

先抓重点

- **核心问题**: 势阱底部不再是抛物线形状时，哪些预测还成立？
- **一句话直觉**: 质点在哪里转折，要用完整的能量方程算；小振动频率只看平衡点附近弯得多厉害。

### 核心数学模型

#### 可以改形状的势阱

$$
U(x)=\frac{kx^2}{2}+\frac{qx^4}{4}+fx
$$

二次和四次系数都不取负值，只要有一个为正，势阱就能困住质点。倾斜项把平衡点推向一侧。

#### 力与稳定性

$$
F(x)=-U\prime(x),\qquad U\prime(x_*)=0,\qquad \omega_0^2=\frac{U\prime\prime(x_*)}{m}
$$

极小值处曲率为正，小振动就是简谐振动；曲率为零时，要看更高阶的项才能判断稳不稳定。

#### 允许区域与转折点

$$
E=\frac12mv^2+U(x),\qquad U(x)\le E,\qquad U(x_\pm)=E
$$

质点在转折点速度为零。从平衡点静止释放时，允许区域缩成一个点。

#### 有限振幅下的周期

$$
T(E)=\sqrt{2m}\int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}
$$

这个积分独立于模拟单独计算。被积函数在转折点发散，余弦代换能去掉这种简单奇点；读数还显示分辨率减半后结果差多少。

#### 能量漂移与小振动参考

$$
\delta E(t)=E(t)-E(0),\qquad x_{\mathrm{lin}}(t)=x_*+(x_0-x_*)\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t
$$

参考曲线只在平衡点附近成立。小振动频率为零时，参考变成匀速运动。这只是线性近似，并不说明真实的极小值是中性稳定的。

### 常见难点

#### 能量不是高度

**容易误解** 质点会顺着曲线往下滑。

**正确理解** 纵轴是能量。质点实际上沿横轴来回运动。

#### 力取决于斜率

**容易误解** 势能最大处的力最大。

**正确理解** 力看的是该点的斜率，不是高度。势阱倾斜后，平衡点处的势能甚至可以不为零。

#### 曲率为零，要看高阶项

**容易误解** 小振动频率为零就说明不稳定。

**正确理解** 正的四次项照样能困住质点。质点仍然来回振动，周期有限，并随振幅变化。

### 动手实验

1. 01

   #### 先检验简谐势阱

   选择“简谐参考”预设，再点“采集完整记录”。

   **你会看到：** 在两个转折点之间积分得到的周期，与简谐振动的解析周期一致，也与轨迹上反复转折的间隔一致。

2. 02

   #### 改变势阱形状

   拖动橙色刚度手柄，调节“四次束缚”，把力和平衡点附近的线性预测比一比。

   **你会看到：** 释放能量和转折点一起变化，控件上显示的是实际系数。

3. 03

   #### 让极小值变平

   选择“四次平坦极小值”预设，再把释放位移调小。

   **你会看到：** 小振动频率一直是零，实际周期却随释放幅度变小而变长。

4. 04

   #### 移动平衡点

   选择“倾斜景观”预设，再在相空间图里沿两个方向拖动初始点。

   **你会看到：** 平衡点移动了。改变初速度，允许区间跟着变，势能曲线本身不变。

物理结论

纯四次势阱底部很平，小振动频率为零，但它依然稳定。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)