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title: "线团—伸展转变：剪切与伸长流中的聚合物互动实验｜Sandbox Physics"
description: "同一种聚合物溶液，为什么剪切时几乎不变，拉伸时却猛然变硬？剪切流不停地把高分子线团转离拉伸方向，线团只略微变长，黏度几乎不变。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/polymer-stretch-startup/"
last_modified: "2026-10-29"
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FR26 · 构象与应力

# 线团—伸展转变：剪切与伸长流中的聚合物

**同一种聚合物溶液，为什么剪切时几乎不变，拉伸时却猛然变硬？** 剪切流不停地把高分子线团转离拉伸方向，线团只略微变长，黏度几乎不变。伸长流没有这种旋转：拉伸速率一旦超过线团弛豫速率的一半，链就被拉开，直到有限长度让它停下，伸长黏度可比剪切黏度高出上百倍。

以相同速率启动剪切和平面伸长。速率越过临界值后，伸长流里的线团被拉开，阻力增大上百倍，剪切流几乎不变。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型是均匀、无惯性流动中的稀聚合物溶液。每条高分子用构象张量描述的弹性哑铃代替：线性弹簧为 Oldroyd-B，Peterlin 有限伸长弹簧为 FENE-P。不含流体动力学相互作用、随构象变化的拖曳（线团—伸展滞回的来源）、多分散性、链长分布和任何空间流动结构。所有曲线均为模型模拟，未展示实测数据。

启动后的应力增长

稳态黏度随速率的变化

伸长流中的能量账

更多数值与计算方法

- **舞台上的时刻**: $0$
- **剪切速率乘弛豫时间**: $0$
- **瞬时剪切黏度**: $0$
- **瞬时平面伸长黏度**: $0$
- **剪切：法向应力差与剪应力之比**: $0$
- **运行结束时的伸长流伸展**: $0$
- **用掉的有限伸长上限的最大比例**: $0$
- **本次运行中构象张量的最小本征值**: $0$
- **功减储存减耗散的最大残差**: $0$
- **两次运行的 Runge–Kutta 步数**: $0$

稳态曲线用对弹簧因子的二分法求解代数稳态；Oldroyd-B 的伸长曲线在不存在稳态的地方中止。虚线是同一参数下弹簧可无限伸长的运行结果，只作参照，不是数据。

物理教程

## 旋转能救线团，纯拉伸不能

**背景** 溶液里的高分子是一团无规线团，热运动总把它拉回静止时的大小；流动则把它的两端往外拖。谁占上风，取决于流动拉伸的速度与线团弛豫的速度之比。

**为什么值得理解** 同样速率的剪切流和平面伸长流，一开始拉伸流体微元的快慢相同。但剪切流同时把线团转离拉伸方向，伸长流却没有任何东西把它转开。

先抓重点

- **核心问题**: 同一种聚合物溶液，为什么剪切时几乎不变，拉伸时却猛然变硬？
- **一句话直觉**: 当 $\mathrm{Wi}>1/2$ 时，平面伸长流拉伸线性哑铃的速度超过它的弛豫速度，伸展呈指数增长。只有真实链的有限长度能让它停下来，此时伸长黏度比剪切黏度高出几个数量级。

### 核心数学模型

#### 构象张量与聚合物应力

$$
\overset{\triangledown}{\mathbf A}=-\frac{f\mathbf A-\mathbf I}{\lambda},\qquad \boldsymbol\tau_p=G\,(f\mathbf A-\mathbf I),\qquad f=\frac{L^2-3}{L^2-\operatorname{tr}\mathbf A}
$$

$\mathbf A$ 是按静止值归一化的平均端到端张量，静止时等于单位张量。上随体导数让它随流动一起变形。Oldroyd-B 是 $f=1$ 的极限。

#### Oldroyd-B 的剪切启动

$$
\eta^+(t)=\eta_s+\eta_p\left(1-e^{-t/\lambda}\right),\qquad N_1^+(t)=2\eta_p\lambda\dot\gamma^2\left[1-\left(1+\tfrac{t}{\lambda}\right)e^{-t/\lambda}\right]
$$

无论速率多大，剪切黏度都不超过零速率值；第一法向应力差则随速率的平方增长。

#### Oldroyd-B 的稳态平面伸长

$$
A_{xx}=\frac{1}{1-2\mathrm{Wi}},\qquad \eta_P=4\eta_s+\frac{4\eta_p}{1-4\mathrm{Wi}^2}
$$

稳态只在 $\mathrm{Wi}<1/2$ 时存在；超过它，启动过程按 $e^{(2\mathrm{Wi}-1)t/\lambda}$ 无限增长。

#### 聚合物的能量账

$$
\int_0^t\boldsymbol\tau_p:\nabla\mathbf u\,dt'=\psi(t)+\int_0^t\frac{G}{2\lambda}\sum_i\frac{(f a_i-1)^2}{a_i}\,dt'
$$

对聚合物做的功，要么储存为弹性自由能 $\psi$，要么被耗散；$a_i$ 是 $\mathbf A$ 的本征值。耗散永不为负。

### 常见难点

#### 速率相同，伸展就相同？

**容易误解** 同样速率下，剪切流与伸长流把高分子拉得一样长。

**正确理解** 剪切流一半是拉伸，一半是旋转。旋转把拉长的线团转向流动方向，拉伸分量对它不再起作用，所以剪切中的伸展会饱和，伸长流中的伸展则一直增长。

#### 发散的黏度

**容易误解** Oldroyd-B 预言真实液体会有无穷大的伸长黏度。

**正确理解** 发散来自一根能无限伸长的弹簧。有限长度的链会封顶，FENE-P 抓住了这一点；真实链还会出现两种模型都不含的滞回。

### 动手实验

1. 01

   #### 同时看两个流动

   播放“线团被拉开”，看两个流动里的线团。

   **你会看到：** 剪切流里的线团略微倾斜、变长；伸长流里的线团沿出流方向越拉越长，伸长应力增长曲线升高约两个数量级。

2. 02

   #### 拖动上板

   向左拖动上板把手，直到伸长速率读数低于二分之一。

   **你会看到：** 伸长流中的线团不再增长，停在不大的尺寸上；稳态黏度曲线上的标记也滑回线团—伸展线左侧。

3. 03

   #### 改为固定应力

   选择“恒定应力自动刹车”。

   **你会看到：** 伸长速率一开始很高，随后不断增长的聚合物应力接过了负载，速率降向二分之一；剪切流则蠕变到一个稳定速率。

物理结论

在剪切流中，旋转保护了线团；没有旋转，超过临界速率的伸长流会把链拉开，只有链的有限长度能让应力停止增长。

## 相关实验与文章

复杂流体 · 阅读路径

### 松弛、拉伸、伸长与弹性失稳

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **从哑铃模型到构象张量与 Oldroyd-B 方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/complex-fluids/dumbbells-and-the-conformation-tensor/)
2. [文章 **为什么伸长流能拉开高分子线团，剪切只让它翻滚**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/complex-fluids/coil-stretch-in-extension/)
3. [文章 **FENE-P 模型怎样用有限链长给伸展和伸长黏度设上限**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/complex-fluids/finite-extensibility-and-fene-p/)
4. [文章 **弯曲流线上的法向应力怎样引发弹性失稳**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/complex-fluids/normal-stresses-and-curved-streamlines/)
5. [实验 **弹性失稳：四辊磨中的对称破缺** 在四辊流中找弯曲与拉伸](https://sandboxphysics.com/zh/labs/four-roll-elastic-instability/)
6. [文章 **四辊流的驻点怎样失去对称，数值方法又改变了多少**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/complex-fluids/elastic-instability-at-a-stagnation-point/)
7. [文章 **读懂弹性湍流：没有惯性的混乱流动有哪些证据，还有什么没解决**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/complex-fluids/reading-elastic-turbulence/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)