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title: "极坐标运动学互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-27"
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M009 · 运动基底

# 极坐标运动学

**一根臂一边转动一边伸缩，端点的速度和加速度怎样算？** 速度有两部分：沿臂方向的伸缩速度，和垂直于臂、大小为半径乘角速度的横向速度。再求一次导，随臂转动的基矢会多出两项：指向中心的向心项，以及臂一边伸缩一边转动时才有的横向交叉项。

设定半径怎样伸缩、角度怎样加速，在旋转臂上读出带符号的矢量分量。再从带噪声的笛卡尔位置重建运动，看角度混叠怎样出现。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

运动是事先给定的，位置观测是模拟的。这里不作力学或安全认证。

物理教程

## 旋转基底也是导数的一部分

**背景** 这里的运动分三部分：路径的形状，沿路径走的快慢，以及观测到的位置记录。

**为什么值得理解** 把画在旋转臂上的矢量，和从测得位置中求出的导数对照起来。

先抓重点

- **核心问题**: 横向交叉项是从哪里来的？
- **一句话直觉**: 求导时，系数要求导，它乘的基矢也要求导。

### 核心数学模型

#### 始终为正的半径与可正可负的转动

$$
\begin{aligned}r(t)&=r_0e^{dt/T}\left[1+\epsilon_r\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right]\\\theta(t)&=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\end{aligned}
$$

伸缩比例严格小于一，半径就始终为正。

#### 基底也需要求导

$$
\dot{\mathbf e}_r=\dot\theta\mathbf e_\theta,\qquad\dot{\mathbf e}_\theta=-\dot\theta\mathbf e_r
$$

方向在转，基矢就在变，哪怕前面的系数不变。

#### 速度分量

$$
\mathbf v=\dot r\mathbf e_r+r\dot\theta\mathbf e_\theta
$$

半径的变化和转动，都对惯性系里的速度有贡献。

#### 加速度分量

$$
\begin{aligned}\mathbf a&=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r\\&\quad+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta\end{aligned}
$$

交叉项完全来自运动学。这些分量带符号，沿的是当前时刻的基矢。

#### 从位置重建运动

$$
\begin{aligned}\widehat r_i&=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\\\widehat\theta_i&=\operatorname{unwrap}(\operatorname{atan2}(y_i,x_i))\end{aligned}
$$

对测得的半径和展开后的角度，按时间做局部二次拟合。展开时总取最近的分支，漏掉的整圈就识别不出来。

### 常见难点

#### 平滑曲线不等于真实加速度

**容易误解** 重建得很平滑、图线画得很密，就证明得到了真实加速度。

**正确理解** 采样可能漏掉转弯，局部拟合会带来偏差，采样中的最大值也不能保证是连续曲线的上界。

### 动手实验

1. 01

   #### 从圆周开始

   选择匀速圆周并拖动时钟。

   **你会看到：** 径向加速度朝内，速度沿横向。

2. 02

   #### 单独看交叉项

   对比纯径向、内收螺旋及伸缩螺旋。

   **你会看到：** 交叉项的方向，由径向运动和转动的正负共同决定。

3. 03

   #### 让转动反向

   选择角向反转，检查角速度为零的中点。

   **你会看到：** 转动反向的那一刻，角加速度仍然可以不为零。

4. 04

   #### 漏掉一圈

   采集角度混叠预设，提高采样率后重新采集。

   **你会看到：** 原始角度的拟合可能很平滑，却是错的；解析参考会把漏掉的运动显示出来。

物理结论

不同坐标下的分量，描述的是惯性系中同一个运动。标架奇异和观测稀疏，各有明确的局限。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)