---
title: "相场断裂模型里的裂纹扩展互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一片连续的损伤场，能自己决定裂纹往哪里走吗？在模型范围内可以。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/phase-field-crack/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/phase-field-crack/"
last_modified: "2026-10-29"
---

断裂力学 · 相场模型

# 相场断裂模型里的裂纹扩展

**一片连续的损伤场，能自己决定裂纹往哪里走吗？** 在模型范围内可以。相场裂纹是一条窄损伤带，哪里能让储能加表面代价变小，它就往哪里长，所以不需要路径规则也能拐向圆孔或在剪切下转弯。在这个带缺口的方块里，尖锐裂纹预测的起裂载荷，落在载荷峰值和损伤带长出两倍带宽时的载荷之间。

拉伸或剪切带缺口的方块，看损伤带怎样长出来、拐向圆孔，或在没有记忆时愈合。再与尖锐裂纹的起裂预测对比。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

二维准静态 AT2 相场模型，平面应变，泊松比 0.3，网格 40 乘 40。拉伸能分解让受压区不会开裂，但这一步不再严格来自同一个能量。页面每个加载步只交替求解三次，快速扩展的裂纹会分摊到几个加载步；基准记录每步都迭代到收敛。带宽、网格和韧性都是无量纲模型选择。

夹头位移 / 边长

$0.0367$

夹头反力（模型单位）

$0.0247$

裂尖前进距离 / 边长

$0$

新表面能占做功比例

$0\%$

金色曲线是模拟的夹头反力，虚线是对同一缺口单独计算的尖锐裂纹起裂位移。

保存这次运行，查看模型

JSON 列出设置、模型版本、尖锐裂纹起裂位移，以及每个载荷步的反力、能量和裂尖前进距离。

强度公式和带损伤缺口的比较参照 Tanné 等人 2018 年的论文。 [阅读原文](https://hal.science/hal-01568702)

[读断裂课程：从 Griffith 能量到相场裂纹与分叉](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fracture-mechanics/)

物理教程

## 让损伤场自己找裂纹路径

**背景** 尖锐裂纹模型需要另给一条“裂尖往哪走”的规则。相场模型改用一个光滑的损伤变量：完好处为 0，断开处为 1，断裂带的宽度由一个长度尺度决定。

**为什么值得理解** 这样，路径、被圆孔吸引、剪切下转弯，都来自同一个能量的最小化。代价是多了一个长度尺度，它的影响必须单独检查。

先抓重点

- **核心问题**: 一片连续的损伤场，能自己决定裂纹往哪里走吗？
- **一句话直觉**: 损伤带在储能加表面代价能下降的地方生长。尖锐裂纹的起裂预测落在载荷峰值和长出两倍带宽之间。

### 核心数学模型

#### AT2 正则化能量

$$
E_{\ell}(u,d)=\int_{\Omega}g(d)\,\psi(\varepsilon(u))\,dx+\frac{G_c}{2}\int_{\Omega}\left(\frac{d^{2}}{\ell}+\ell\,|\nabla d|^{2}\right)dx
$$

第一项是被损伤削弱的弹性储能，第二项是损伤带的表面代价。网格足够细时，一条直带的第二项等于韧性乘裂纹长度。

#### 退化函数与记忆

$$
g(d)=(1-d)^{2}+k,\qquad \mathcal H(x,t)=\max_{s\le t}\psi^{+}(x,s)
$$

小的残余刚度让断开区的方程仍可求解。历史场用迄今最大的拉伸能驱动损伤，载荷下降时损伤不会愈合。

#### AT2 模型的均匀强度

$$
\sigma_c=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{3G_cE'}{\ell}}
$$

没有缺口时，均匀杆的最大应力就是这个值。带越窄材料越强，所以长度尺度同时也是强度参数，Tanné 等人强调过这一点。

### 常见难点

#### 带宽不是裂纹张开量

**容易误解** 损伤带的宽度就是裂纹张开的宽度。

**正确理解** 带宽由长度尺度和网格决定，与载荷无关。裂纹张开量是位移在带两侧的跳跃。

#### 模型没有包含什么

**容易误解** 这里的起裂、路径和载荷曲线与网格无关。

**正确理解** 二维准静态 AT2 相场模型，平面应变，泊松比 0.3，网格 40 乘 40。拉伸能分解让受压区不会开裂，但这一步不再严格来自同一个能量。页面每个加载步只交替求解三次，快速扩展的裂纹会分摊到几个加载步；基准记录每步都迭代到收敛。带宽、网格和韧性都是无量纲模型选择。

### 动手实验

1. 01

   #### 拉一个带缺口的方块

   选“拉伸长出直裂纹”，在数据区看反力随夹头位移的变化。

   **你会看到：** 反力先升到峰值，损伤带穿过方块时下降。虚线是尖锐裂纹的起裂预测。

2. 02

   #### 换一种加载

   选“剪切让裂纹转弯”，再选“圆孔吸引裂纹”。

   **你会看到：** 这里没有路径规则。剪切下损伤带向角落转弯；靠近圆孔时它拐向圆孔。

3. 03

   #### 去掉记忆

   选“没有记忆，裂纹会愈合”。载荷先升再降。

   **你会看到：** 没有历史场，载荷下降时损伤带缩回去，真实裂纹不会这样。

物理结论

把相场裂纹看成带一个额外长度尺度的能量最小化。在相信某个数值之前，先检查这个长度对强度、起裂和路径的影响。

## 相关实验与文章

断裂力学 · 阅读路径

### 断裂力学，从 Griffith 能量平衡到裂纹分叉

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **把裂纹写成一条窄窄的损伤带**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fracture-mechanics/crack-as-a-damage-band/)
2. [文章 **先预测缺口何时起裂，再检验这个预测**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fracture-mechanics/predicting-notch-initiation/)
3. [实验 **Griffith 裂纹扩展判据** 让裂纹扩展，追踪外力做功的去向](https://sandboxphysics.com/zh/labs/griffith-crack-growth/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)