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title: "Peaucellier 直线机构互动实验｜Sandbox Physics"
description: "七根活动杆，没有直线导轨，也能画直线。 铰接杆件如何在没有导轨时画直线？"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/peaucellier-inversor/"
last_modified: "2026-10-21"
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绘图机构 · 几何反演

# Peaucellier 直线机构

摆动圆周曲柄，看铰接菱形如何引导画笔沿直线运动。改变输入圆让轨迹弯曲，近看叠层铰链，检验藏在笔迹背后的几何不变量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

理想平面刚性连杆，曲柄转角为指定量。只显示无奇异工作区间。厚度与铰链叠层为示意，不含摩擦、惯性、碰撞、接触载荷或公差模型。

物理教程

## 只靠铰链，画出直线

**背景** 机构能够把几何作图藏进运动约束。

**为什么值得理解** 先跟随画笔，再检验约束它的杆件。

先抓重点

- **核心问题**: 输入圆满足什么条件，输出才是直线？
- **一句话直觉**: 菱形保持输入点与画笔同处一条径向直线，两者到固定点的距离乘积恒定。

### 核心数学模型

#### 几何反演

$$
K=\ell^2-r^2,\quad\mathbf Q=\frac{K\mathbf P}{|\mathbf P|^2}
$$

固定反演铰点为原点，两根长杆与菱形四条等边共同约束此关系。

#### 输入圆

$$
\mathbf P=(D+R\cos\theta,R\sin\theta)
$$

圆心位于另一个固定铰点，半径等于铰距时圆通过原点。

#### 精确直线轨迹

$$
R=D\quad\Longrightarrow\quad Q_x=\frac K{2D},\quad Q_y=\frac K{2D}\tan\frac\theta2
$$

只显示限定曲柄区间，将曲柄延伸至反演中心会出现奇异性。

#### 一般输出圆

$$
(D^2-R^2)|\mathbf Q|^2-2KDQ_x+K^2=0
$$

二次项系数消失时，同一约束变成直线。

### 常见难点

#### 参考轨迹不是测量

**容易误解** 浅色曲线是独立实验验证。

**正确理解** 它是完整理想模型轨迹。闭合残差与独立几何测试用于检查一致性，本实验不采集真实数据。

#### 运动为指定量

**容易误解** 轨迹流畅就证明真实机构能安全地以此速率驱动。

**正确理解** 质量、摩擦、接触力、间隙与驱动动力学需要另行分析。三维零件厚度只用于说明装配。

### 动手实验

1. 01

   #### 描出默认轨迹

   选择绘图平面视角，播放或拖动珊瑚色手柄。

   **应该观察到：** 每根杆长保持不变，没有导轨的画笔沿竖直直线运动。

2. 02

   #### 让直线弯起来

   保持两个固定铰点不动，改变曲柄半径比。

   **应该观察到：** 反演距离乘积仍恒定，画笔轨迹却变成圆弧。

3. 03

   #### 区分几何与速率

   增大角速率，导出相位扫描。

   **应该观察到：** 同一条路径走得更快，速度按角速率缩放，加速度按其平方缩放。

物理结论

可见笔迹与速度曲线来自同一组连杆坐标。

几何与装置：[Il Giardino di Archimede · Peaucellier](https://archimede.dimai.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/curve/geomeccan0.php?id=5) · [Caltech · Elliptical Trammel](https://robotics.caltech.edu/wiki/images/4/47/EllipticalTrammel.pdf)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)