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title: "保守力与路径依赖互动实验｜Sandbox Physics"
description: "在同样两点之间换条路走，力做的功一样吗？只有保守力才一样。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M043 · 功与能量

# 保守力与路径依赖

**在同样两点之间换条路走，力做的功一样吗？** 只有保守力才一样。在绕着圈转的力场里，功随路径而变，环路倒着走，功就变号。摩擦损耗从不变号，怎么走都在消耗能量。某一个环路的功碰巧为零，证明不了存在势能；要每个环路的功都为零才行。

编辑两条端点相同的路径，把势能部分做的功、旋转部分的环量和滑动损耗分开。再沿闭合路径测几个点的场力，和由几何算出的回路功比一比。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

路径是给定的。场力做功和滑动耗散分开计算，不求解驱动和接触动力学。

物理教程

## 保守力与路径依赖

**背景** 同样两个端点之间走两条路，就能看出两种功的区别：一种只看起点和终点，另一种要看你沿闭合路径往哪个方向绕。

**为什么值得理解** 编辑端点相同的两条路径，把三部分分开：势能做的功、场旋转部分的环量和滑动损耗。再用采集到的场力测点，检验由几何算出的闭合功。

先抓重点

- **核心问题**: 到达相同终点，做功就相同吗？
- **一句话直觉**: 沿一条闭合路径做功为零，不能证明处处都存在势能。

### 核心数学模型

#### 含保守部分和旋转部分的力

$$
\begin{aligned}\mathbf F&=(-kx-\gamma y,\,-G-ky+\gamma x)\\U_c&=\tfrac12k(x^2+y^2)+Gy\end{aligned}
$$

只有弹性力和均匀向下的力来自这个势能。

#### 沿路径的功积分

$$
W_C=\int_0^1\mathbf F(\mathbf c(q))\cdot\mathbf c^{\prime}(q)\,\mathrm dq
$$

只有沿路径切向的分力做功。路径参数不是时间；装置由驱动带着沿选中路径走。

#### 绕行方向与旋度

$$
\begin{aligned}A_{\mathrm{or}}&=\tfrac12\oint(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)\\\oint\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r&=2\gamma A_{\mathrm{or}}\end{aligned}
$$

沿第一条路径正着走、沿第二条倒着走，确定绕行方向。路径自交时，各部分按绕行方向带正负号计入。

#### 耗散不反号

$$
\begin{aligned}W_f&=-fL\\W_{f,\mathrm{loop}}&=-f(L_A+L_B)\end{aligned}
$$

阻力取决于行进方向，所以它在闭合路径上的功，不是任何只依赖位置的场的旋度积分。

#### 由采集到的力估计功

$$
\widehat W_C=\sum_i\frac{\mathbf F_i^{\mathrm{obs}}+\mathbf F_{i+1}^{\mathrm{obs}}}{2}\cdot(\mathbf r_{i+1}-\mathbf r_i)
$$

在这次模拟采集里，位置是精确的，场力分量带有确定性的有界噪声。

### 常见难点

#### 反向绕行

**容易误解** 闭合路径反过来走，所有功都会反号。

**正确理解** 只依赖位置的场力，做功确实反号。滑动阻力会转向，跟新的运动方向相反，照样消耗能量。

### 动手实验

1. 01

   #### 固定端点

   编辑每条路径上的两个内部点。

   **你会看到：** 路径长度变了，势能部分做的功仍然不变。

2. 02

   #### 给场加上环量

   选择旋转场，再改变它的符号。

   **你会看到：** 沿闭合路径的场力功随有向面积变化，路径反向时功也反号。

3. 03

   #### 加入阻力

   设定滑动阻力，再把两条路径都反过来。

   **你会看到：** 场力项反号，阻力项始终为负。

4. 04

   #### 测出闭合功

   采集场力，增加扫描区间，再和模型比较。

   **你会看到：** 测得的闭合功来自力乘位移的求和；阻力仍然单独计算。

物理结论

闭合路径反过来走，场的环量会反号，滑动损耗却不会。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)